Главная > Математика > Курс локальной дифференциальной геометрии
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

6. Соприкасающаяся плоскость и соприкасающаяся полуплоскость кривой в пространстве E3. Вогнутость.

На кривой пространства

точка будет называться обыкновенной второго порядка, если она является такой с точки зрения прямой геометрии и, кроме того, неимеет стационарной касательной, что записывается в допустимой параметризации так:

Рассмотрим три точки близкие к такой точке

Плоскость, проходящая через эти три точки, определяется решением однородной системы

Допустим, что Вычтем в атой системе первое уравнение из второго, второе из третьего и применим оба раза теорему о конечном приращении. Мы получим два уравнения, которые могут заменить два последних уравнения системы (6.2):

Вычитая второе из этих уравнений из первого, мы получаем тем же путем уравнение

которое может заменить второе из предыдущих уравнений. Окончательно уравнение плоскости может быть записано в виде

В силу непрерывности левая часть этого уравнения не обращается в нуль тождественно, если достаточно близки к Когда эти три точки стремятся к мы видим, что плоскость имеет предел, называемый соприкасающейся плоскостью кривой в точке Уравнение ее имеет вид

Мы напишем это уравнение в следующей форме, где значение параметра не уточнено:

Обозначив текущую точку через можно записать это уравнение векторной форме:

В случае плоской кривой соприкасающаяся плоскость в любой из ее точек будет плоскостью кривой.

Процессом, аналогичным проведенному здесь, можно показать, что соприкасающуюся плоскость в точке можно определить и как предел плоскости, проходящей через касательную в и через близкую точку, а также как предел плоскости, параллельной касательной в близкой точке, или как предел плоскости, проходящей через и касательную в близкой точке.

Как и в случае касательной, можно при некоторых условиях обобщить понятие соприкасающейся плоскости на некоторые случаи точек, не являющихся обыкновенными точками; мы не будем останавливаться на этих обобщениях.

Сделаем теперь замену параметра: Мы получим

Последнее уравнение показывает нам, в силу наличия положительного множителя перед что полуплоскость, называемая соприкасающейся полуплоскостью в рассматриваемой точке:

( действительные параметры, X произвольно ), не зависит от параметризации. Посмотрим, в чем заключается геометрический смысл этого явления.

Дадим и приращение ; точка перейдет в и мы будем иметь

где обозначает вектор, стремящийся к нулю вместе с

Рассмотрим теперь произвольную плоскость, проходящую через касательную и отличную от соприкасающейся плоскости, определенную вектором и вектором А. Ее уравнение имеет вид

Заменяя на имеем

Это смешанное произведение имеет тот же знак, что и

или тот же знак, что и

для если достаточно мало. Другими словами, точки кривой, достаточно близкие к находятся в том же полупространстве, что и соприкасающаяся полуплоскость по отношению к заданной плоскости.

Это значит, что если мы рассмотрим две полуплоскости, проходящие через касательную и образующие как угодно малый двугранный угол, содержащий внутри соприкасающуюся полуплоскость, то все точки кривой, достаточно близкие к лежат внутри этого двугранного угла. Поэтому говорят, что вогнутость кривой в точке направлена внутрь соприкасающейся полуплоскости.

Пусть кривая имеет в обыкновенную точку порядка 3 в смысле прямой геометрии, причем ее параметризация является допустимой; мы скажем, что эта точка является обыкновенной порядка 3 в эвклидовой геометрии, если соприкасающаяся плоскость в этой точке не стационарна, т. е.

В эвклидовой геометрии точка называется обыкновенной порядка если она обыкновенная порядка смысле прямой геометрии и обыкновенная порядка 3 в эвклидовом смысле. В этой геометрии всякое дальнейшее различение становится излишним.

УПРАЖНЕНИЯ

(см. скан)

(см. скан)

(см. скан)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление