Главная > Математика > Курс локальной дифференциальной геометрии
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3. Триэдр Френе.

Формулы (2.3) показывают прежде всего, что

т. е. дифференциал дуги кривой Выбрав точку в качестве начала на мы можем определить положение любой другой точки ее криволинейной абсциссой

Длина дуги имеет величину

откуда мы легко выводим, что

Может оказаться удобным ввести несколько более общие криволинейные абсциссы, сопоставив точке произвольную криволинейную абсциссу 50; тогда абсциссой точки будет и на не обязательно будёт существовать точка с криволинейной абсциссой нуль, является натуральным параметром в теории пространственных кривых эвклидовой геометрии, и этот параметр, является допустимым по отношению к определению порядка точки. Мы имеем, действительно, представление в виде

причем

Единичный вектор отложенный на ориентированной полукасательной в направлении возрастания имеет направляющие косинусы

Как мы видели вектор

определяет вместе с касательной соприкасающуюся полуплоскость к кривой в точке т. е. он направлен в сторону вогнутости кривой. Так как он, с другой стороны, перпендикулярен касательной, то мы его называем нормальным к кривой, и прямая, на которой он расположен, называется главной нормалью к в точке

Так как положительно, вектор также ориентирован в направлении вогнутости кривой; мы обозначим его направляющие косинусы через

Что касается вектора то он тоже нормален к прямая, на которой он расположен, называется бинормалью к в точке Его направляющие косинусы суть

Плоскость называется соприкасающейся плоскостью, плоскость нормальной плоскостью, плоскость спрямляющей плоскостью. Когда мы меняем направление обхода на векторы переходят в противоположные векторы, но направление вектора триэдра Френе инвариантно.

Классическая теория состоит в том, что триэдр Френе определяется a priori указанными выше свойствами, а затем устанавливаются формулы (2.3).

Рис. 26.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление