Главная > Математика > Курс локальной дифференциальной геометрии
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

7. Винтовые линии.

Мы называем винтовой линией кривую, касательная к которой образует постоянный угол с фиксированным направлением, называемым осью винтовой линии. Пусть — единичный вектор, лежащий на этом направлении; тогда

где V — постоянный угол, значение которого заключено между нулем и k. Но при изменении направления обхода на кривой вектор меняется на меняет знак. Поэтому на время можно предположить V заключенным между нулем и

Сферическая индикатриса винтовой линии будет окружностью на сфере радиуса 1. В предельном случае эта окружность вырождается в точку, имеет фиксированное направление и кривая сводится к прямой; в другом предельном случае эта окружность превращается в окружность большого круга; тогда будет фиксированным вектором, и последнее уравнение (2.3) показывает, что т. е. что кривая плоская.

Исключив эти случаи, предположим, что триортогональный триэдр, такой, что — единичный вектор, лежащий на Тогда для винтовой линии будем иметь

а — определяющее ее соотношение записывается в форме

откуда

Пусть ортогональная проекция вектора на плоскость Имеем

что дает

откуда, если обозначить через а криволинейную абсциссу на проекции кривой на плоскость

Отсюда, применяя (7.2), получаем, что и, выбрав на направление обхода, индуцированное направлением, выбранным на получим, что

Итак, можно положить

выбрав соответствующие друг другу начальные точки на двух кривых. Из (7.2) и (7.3) находим, что

откуда

Обратно, если, начиная с плоской кривой мы построим кривую откладывая на перпендикуляре к плоскости кривой длину, пропорциональную ее дуге, то будет винтовой линией с осью так как из соотношения вида (7.4) мы выводим, что

откуда следует соотношение (7.2), причем направление обхода на индуцируется направлением обхода на

Итак, соотношение (7.4) характерно для винтовых линий и дает способ их построения.

Вернемся к соотношению (7.1). Дифференцирование его дает откуда, исключая случай прямых имеем

Вектор остается, таким образом, параллельным фиксированной плоскости и это свойство также является характерным для винтовых линий, поскольку соотношение (7.5) можно записать также в форме (исключая всегда прямые), откуда интегрированием получается т. е. соотношение, совпадающее с определением (7.1).

Уравнение (7.5) выражает, что соприкасающаяся плоскость винтовой линии определяемая векторами нормальна касательной плоскости цилиндра, проектирующего на плоскость поскольку нормаль к этому цилиндру будет параллельна вектору Говорят, что является геодезической линией цилиндра.

Обратно, всякая геодезическая линия цилиндра, всякая кривая, соприкасающаяся плоскость которой в каждой точке нормальна к цилиндру,

удовлетворяет уравнению (7.5). Следовательно, это винтовая линия, которая, однако, может сводиться к образующей или к ортогональному сечению.

Рассмотрим произведение Его производная равна нулю. Таким образом, это произведение есть константа, и обратно, всякая пространственная кривая, у которой постоянно, будет винтовой линией, поскольку отсюда следует, что так что кривая будет винтовой линией, когда т. е. когда она неплоская. Рассмотрение триэдра Серре — Френе в точке на кривой дает немедленно значение этой константы.

Действительно, из (7.5) мы получаем, что бинормаль к ней лежит в касательной плоскости к цилиндру, проектирующему на плоскость Так как она перпендикулярна то она образует с вектором к этой плоскости угол — или Следовательно,

и это соотношение, как мы видели, характеризует винтовые линии. Когда мы меняем направление обхода на правая часть равенства (7.1), а также правая часть последнего равенства меняют знак. Мы выберем теперь определенный порядок обхода на таким образом, чтобы

причем угол V теперь будет заключен между нулем и и в формуле будет положителен или отрицателен. Дифференцируем, наконец, соотношение (7.5). Получим

или, принимая во внимание (7.1) и (7.6),

это соотношение также является характерным для винтовых линий, т. е. кривая, для которой отношение кривизны к кручению постоянно, есть винтовая линия. Действительно, можно написать это соотношение в форме (7.7), где V обозначает угол, заключенный между нулем и k. После умножения на вектор будем иметь

или по формулам Серре — Френе

откуда интегрированием получается равенство

где обозначает постоянный единичный вектор. Умножая скалярно это соотношение на получаем

т. е. мы снова приходим к определению винтовых линий. Вернемся к соотношению

между текущей точкой на и ее проекцией на ортогональную к оси плоскость. Дифференцируя, мы получаем сначала

Второе дифференцирование дает

где обозначают единичные векторы касательной и главной нормали к кривой ее кривизну. Мы получаем сначала равенство векторов т. е. уравнение (7.5), и мы имеем, кроме того,

Это соотношение дает нам кривизну кривой как функцию от кривизны кривой в соответствующей точке. Этот результат позволяет определить кривые постоянной кривизны и постоянного кручения. Так как отношение этих величин для такой кривой постоянно, то она представляет собой винтовую линию проекция которой на плоскость, перпендикулярную к ее оси, имеет постоянную кривизну, получаемую из формулы (7.8). Итак, будет окружностью и винтовая линия круглого цилиндра. Обратно, в силу (7.8), винтовая линия круглого цилиндра всегда имеет постоянную кривизну и постоянное кручение.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление