Главная > Математика > Курс локальной дифференциальной геометрии
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

4. Теоремы равенства и существования.

Вернемся к общему случаю. Мы сформулируем теоремы равенства и существования и дадим их прямые доказательства.

Пусть даны две линейно независимые дифференциальные формы двух переменных пусть две функции этих переменных. Если уравнения (1.7) удовлетворяются, то существует поверхность, определенная с точностью до произвольного перемещения, для которой инвариантные формы, главные кривизны.

Уравнения (1.7) суть не что иное, как условия интегрируемости системы (1.8), которая определяет положение триэдра по его начальному положению Интегрирование

производится методами, изложенными в (1,6), и позволяет сделать приведенные там замечания.

Далее, кроме некоторых поверхностей (называемых поверхностями Вейнгартена, или поверхностями не связаны никакими соотношениями и являются двумя независимыми функциями (которые можно выбрать в качестве переменных). Четыре инвариантные производные

представляют собой функции и система

позволяет вычислить так как ее определитель отличен от нуля. Мы можем тогда применить предыдущую теорему, и в результате получаем:

Поверхность, отличная от поверхности определяется заданием четырех функций представляющих собой инвариантные производные функций

Рассмотрим теперь случай поверхности Предположим сначала, что инвариантные производные не являются одновременно функциями только от т. е. что, например, могут быть взяты в качестве независимых переменных. Тогда мы запишем и будем рассуждать, как и выше. Поверхность определяется заданием в виде функций от

Остается изучить случай, когда Две поверхности могут быть равны только в том случае, если три функции будут одинаковы для обеих поверхностей.

Предположим, что это имеет место и что, например, Система

интегрируема, так как мы имеем

Из первого соотношения можно получить выражение для Подставляя его во второе соотношение, мы видим, что. условие Фробениуса удовлетворяется.

Система (4.1) имеет интеграл, зависящий от одного параметра. Последнее соотношение (4.2) показывает тогда, что Следовательно, можно переходить от одной поверхности к другой с помощью бесчисленного множества перемещений. Они равны, но кроме того, каждая из них инвариантна относительно однопараметрической группы движений, следовательно, это цилиндры, поверхности вращения или геликоиды.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление