4.3. Сигналы с внутриимпульсной частотной модуляцией

В настоящем параграфе будут изучаться спектральные и корреляционные свойства особого класса модулированных сигналов, получивших в последнее время широкое распространение в радиолокации. Эти сигналы отличаются от обычных радиоимпульсов тем, что их высокочастотное заполнение имеет переменную частоту. Чаще всего используется внутриимпульсная частотная модуляция с линейным законом изменения мгновенной частоты во времени.

Принцип линейной частотной модуляции (ЛЧМ).

Рассмотрим радиоимпульс с огибающей прямоугольной формы. Будем полагать, что частота заполнения линейно нарастает от начала импульса к его концу.

Конкретизируя математическую модель сигнала, предположим, что его длительность равна , причем точка t = 0 соответствует середине импульса, а мгновенная частота изменяется во времени по закону

Здесь — несущая частота; — параметр с размерностью , равный скорости изменения частоты во времени.

Легко видеть, что за время, равное длительности импульса, девиация частоты

Полная фаза сигнала

Итак, будем называть радиоимпульсом с линейной частотной модуляцией, или ЛЧМ-импульсом, сигнал, представляемый следующей математической моделью:

Замечательное свойство ЛЧМ-сигналов, определяющее их практическую значимость, состоит в следующем. Предположим, что имеется некоторое физическое устройство, осуществляющее задержку сигналов, подаваемых на его вход. Если время задержки зависит от частоты сигналя, причем с ростом частоты это время уменьшается, то при определенных условиях, подавая на вход такого устройства ЛЧМ-импульс большой длительности, можно добиться существенного «сжатия» его во времени. Этот эффект обусловлен тем, что на выходе устройства задержки одновременно будут появляться составляющие как более низкочастотные, относящиеся к началу импульса, так и более высокочастотные, наблюдаемые в его конце.

Подробный анализ устройств сжатия, позволяющий оценить количественную сторону явления, а также выяснить, например, ферму выходного сигнала, будет проведен в гл. 16 при обсуждении методов оптимального выделения сигналов на фойе помех.

Спектр прямоугольного ЛЧМ-нмпульса.

В § 4.2 при рассмотрении спектральных характеристик ЧМ-сигнала, промоделированного двумя колебаниями низкой частоты, было показано, что спектр такого сигнала имеет сложную структуру из-за перекрестного влияния отдельных спектральных составляющих. Все это в полной мере относится и к спектру ЛЧМ-импульса. При дальнейшем изложении этого вопроса будем придерживаться в основном обозначений, принятых в [28].

На основании модели (4.41) запишем выражение спектральной плотности одиночного ЛЧМ-импульса:

Анализ этого соотношения показывает, что первый интеграл описывает часть спектральной плотности с резко выраженным максимумом в области положительных частот, близких к Второй интеграл соответствует части спектральной плотности, сосредоточенней в основном при . На практике интересуются исключительно случаем, когда эффект перекрытия спектров, концентрирующихся при положительных и отрицательных частотах, пренебрежимо мал. Это связано с тем, что полная девиация частоты за время длительности импульса очень мала по сравнению с несущей частотой:

Поэтому в формуле (4.42) следует вычислять только первый интеграл, даюший спектральную плотность при

С учетом сказанного, дополнив аргумент экспоненциальной функции в формуле (4.42) до полного квадрата, получим

Удобно перейти от переменной t к новому аргументу х, выполнив замену переменной:

Проводя вычисления, находим

где пределы интегрирования определяются следующим образом:

Интеграл в выражении (4.44) сводится к комбинации хорошо изученных специальных функций — интегралов Френеля [16]:

В результате получаем окончательную формулу для спектральной плотности ЛЧМ-сигнала:

Представив эту спектральную плотность в показательной форме:

можно заметить, что модуль (амплитудный спектр)

в то время как фазовый спектр состоит из квадратичного слагаемого

и так называемого остаточного фазового члена

(449)

ЛЧМ-сигналы с большой базой.

Численный анализ полученных выражений свидетельствует о том, что характер частотной зависимости модуля и фазы спектральной плотности прямоугольного ЛЧМ-импульса полностью зависит от безразмерного числа

равного произведению девиации частоты на длительность импульса и называемого базой ЛЧМ-сигнала.

В практически важных случаях выполняется условие Спектр таких ЛЧМ-сигналов с большой базой имеет ряд специфических особенностей. Во-первых, модуль спектральной плотности здесь практически постоянен в пределах полосы частот шириной с центром в точке Соответствующие графики, рассчитанные по формулам (4.47) и (4.49), представлены на рис. 4.10.

Рис. 4.10. Частотные зависимости модуля и остаточного фазового члена спектральной плотности прямоугольного ЛЧМ-импульса при различных значениях базы сигнала

Во-вторых, наблюдается постепенное исчезновение осцилляций модуля спектральной плотности с увеличением базы сигнала Анализируя формулу (4.47), можно убедиться, что на центральной частоте спектра

Таким образом, модуль спектральной плотности ЛЧМ-сигнала с большой базой

Энергетический спектр такого сигнала

также постоянен в полосе частот и обращается в нуль вне этой полосы

Пример 4.4.- Прямоугольный ЛЧМ-импульс имеет амплитуду , несущую частоту и длительность . Девиация частоты за время импульса Определить основные параметры спектра такого сигнала.

Прежде всего находим базу сигнала Скорость нарастания частоты . В соответствии с формулой (4.53) энергетический спектр Поскольку база сигнала велика, его спектр практически заключен в пределах полосы частот от до

Автокорреляционная функция ЛЧМ-сигнала.

Для нахождения этой характеристики, столь важной при решении задач обнаружения сигнала, целесообразно воспользоваться результатами, полученными в гл. 3, где было показано, что связь между АКФ и энергетическим спектром сигнала устанавливается парой интегральных преобразований Фурье.

Пусть база ЛЧМ-сигнала достаточно велика, так что энергетический спектр этого сигнала равномерен и сосредоточен лишь в полосе частот вокруг несущей частоты. Тогда автокорреляционная функция ЛЧМ-сигнала [см. формулу (4.53)]:

График нормированной автокорреляционной функции изображен на рис. 4.11. Здесь же представлена огибающая этой функции, имеющая лепестковую структуру.

Формула (4.54) устанавливает следующее свойство ЛЧМ-сигнала: ширина главного лепестка огибающей АКФ обратно пропорциональна девиации частоты импульса. Действительно, огибающая первый раз обращается в нуль при сдвиге сигнала относительно его копии на интервал времени Применяемые в радиолокации ЛЧМ-сигналы характеризуются значительной девиацией частоты, поэтому главный лепесток АКФ получается весьма узким.

Рис. 4.11. Корреляционные характеристики ЛЧМ-сигнала: а — нормированная АКФ; б — огибающая нормированной АКФ

Например, для сигнала, изученного в примере 4.4, сдвиг, обращающий в нуль огибающую АКФ, составит всего 0.01 мкс, или 0.5 % от длительности импульса.

Однако с точки зрения корреляционных свойств ЛЧМ-сигналам присущ известный недостаток: высота двух первых симметричных боковых лепестков АКФ достаточно велика, составляя 0.212 от высоты центрального лепестка. В неблагоприятных условиях (значительный уровень шумов) это может привести к ошибочному определению временного положения импульса.