Применение асимптотического метода к гармоническому осциллятору.

Асимптотический метод (метод Крускала) разработан для многомерных систем, однако простейшая одномерная задача о гармоническом осцилляторе выявляем его основные особенности. Рассмотрим для простоты вместо уравнений движения одномерной системы (2.5) и (2.6) уравнения

В (2.82) только зависит от времени, причем запись аргумента в виде означает слабую зависимость от Выразим (2.82) в стандартной форме автономной системы уравнений первого порядка, введя для этого новую переменную

Для самого низкого порядка имеем следовательно, Пусть у — векторная переменная

где

есть гамильтониан, в нулевом приближении Решение нулевого порядка описывает обычный гармонический осциллятор.

где, как и раньше, Введем угловую переменную Из уравнений (2.86) находим

В новых переменных, заданных соотношениями (2.84) и (2.87), имеем

Теперь, чтобы перейти к новым переменным, не зависящим от угла, используем преобразования (для каждого порядка) (2.74) — (2.77). Для этого необходимо сначала получить выражения для производных . Продифференцировав гамильтониан (2.85) и воспользовавшись уравнениями (2.83), получим

где производная по Из соотношений (2.85) и (2.87) получаем следующие выражения для в переменных :

Подставляя найденное выражение для в соотношение для находим

здесь использовано соотношение Исходя из определений предыдущего раздела, имеем

Аналогично получаем производную от угловой переменной, дифференцируя (2.85) и используя соотношения (2.83):

Подставляя значение полученное из (2.87), получаем

Полученные уравнения (2.89) и (2.90) можно использовать для определения новых переменных. Полагая и определяются непосредственно из (2.74) и (2.76)], находим

и для первого порядка

что

Подставляя в выражение для и интегрируя, получаем

Соотношения (2.91) и (2.92) определяют так называемые хорошие переменные, так как не зависит от [см. уравнение (2.70а)]. Аналогично можно построить преобразование, которое приводит к уравнению для угловой переменной (2.706).

Теперь выразим интеграл движения через эти новые переменные:

где функции . Для первого порядка по достаточно выполнить интегрирование по 0, тем самым упрощая преобразования. Подставляя значения из (2.89) и дифференцируя имеем

Подставляя из (2.92), получаем

Выполняя интегрирование и учитывая, что второй член в результате интегрирования дает нуль, имеем для адиабатического интеграла

В области, в которой параметры не меняются, и мы получаем обычный адиабатический результат

Теперь мы видим, что этот результат справедлив только для нулевого порядка в области с параметрами, изменяющимися со временем. Для первого порядка адиабатичность эквивалентна изменению полученному прямым вычислением по формуле (2.48). Мы выразили через хорошие переменные, в результате чего получили величину, асимптотически постоянную для всех порядков по даже в случае, когда параметры меняются со временем. Покажем теперь прямым вычислением, что действительно равно нулю. Дифференцируя (2.94) и подставляя определяемое формулой (2.91), получаем равенство

справедливое для первого порядка по При этом мы использовали соотношение которое верно, если есть только один меняющийся параметр.

В работе [19] в качестве исходных переменных в преобразовании использовано а не и получен гамильтониан в виде

где Преобразование к хорошим переменным, найденное другим способом, дает непосредственно. Однако (2.96) можно получить не обязательно только как разложение по Так, можно требовать почленного разложения для промежуточных переменных и хороших переменных. Ниже мы рассмотрим методом [19] задачу, которая покажет пределы применимости адиабатической теории.