§ 5.2. Удержание частицы в поле диполя

Введение.

Рассмотрим теперь движение частицы в поле диполя, которое аппроксимирует магнитное поле Земли. Границы орбитальной устойчивости являются границами областей, в которых могут находиться захваченные частицы. Эта задача является типичным примером использования адиабатических инвариантов в задачах удержания частиц. Если в биполярных координатах степени свободы разделяются, то адиабатический инвариант первого порядка может быть найден аналитически и его можно сравнить с инвариантом нулевого порядка или магнитным моментом. Движение частицы в поле диполя впервые рассмотрел Штермер [61]. Эта задача, часто называемая проблемой Штермера, в большой степени стимулировала развитие адиабатической теории [1, 44]. Обширный обзор приведен в работе Штермера [62]. Магнитное поле диполя

характеризуется большой кривизной силовых линий и поэтому можно ожидать, что теория адиабатической инвариантности, в первом порядке которой кривизной пренебрегли, дает в этом же порядке некорректные результаты. Однако адиабатический инвариант можно образовать в системе координат, в которой степени свободы совпадают с криволинейными координатами, соответствующими силовым линиям. Такой выбор системы координат основан на интуитивном предположении, что периодическое движение приблизительно разделяется на быстрое вращение вокруг силовой линии и более медленное колебание вдоль силовой линии.

Рис. 5.5. Схематическое представление движения захваченной заряженной частицы в поле магнитного диполя. Положительное направление оси выбрано в связи с тем, что магнитный момент Земли направлен вниз [19].

Постановка задачи.

На рис. 5.5 изображена система отсчета, которая связана с дипольным моментом показывающим спиральное вращение частицы вокруг силовой линии. Используем угол широты X (а не угол долготы 6), как обычно в задаче диполя. Диполь может быть описан либо векторным потенциалом

либо эквивалентным скалярным потенциалом

так, что

Можно показать, что релятивистский гамильтониан для системы магнитных полей, не зависящих от времени [26], имеет вид

где векторный потенциал функция координат а канонические импульсы задаются выражением

Здесь коэффициенты Ламе, такие, что релятивистский фактор; постоянная

энергия. В цилиндрических координатах коэффициенты Ламе равны Для биполярной симметрии имеем

где

Так как энергия постоянна, используем эквивалентный нерелятивистский гамильтониан

который имеет более простую форму, но те же частные производные по всем динамическим переменным и, следовательно, является эквивалентным описанием движения. Поскольку, как видно из (5.46), функция только и 2, то циклическая координата, и условие дает интеграл движения

где определяется из начальных условий. Таким образом, задача сводится к определению движения в -плоскости, описываемого гамильтонианом

где после подстановки из (5.46)

После того как определили можно найти, интегрируя последнее из уравнений (5.50). Эта задача полностью эквивалентна уже рассмотренной задаче с центральной силой. Здесь имеет минимум и представляет собой потенциальную яму, в которой могут осциллировать захваченные частицы. Эквивалентность будет более очевидной, если рассматривать движение только в экваториальной плоскости В этом случае (5.54) принимает вид

который с точностью до знака идентичен эквивалентному потенциалу в задаче с центральной силой.

Для двумерной задачи удобно ввести безразмерные переменные Опуская для упрощения записи черточки, получаем:

где безразмерная константа, введенная Штермером [62]. Видим, что в этой системе единиц в плоскости потенциал имеет экстремум, определяемый из уравнения

Потенциал имеет минимум при и максимум при Таким образом, захваченные частицы осциллируют в потенциальной яме, значение минимума которой нормировано на единицу.