12.1. ФИЛЬТР ВИНЕРА
Во время второй мировой войны Винер выполнил свои фундаментальные, ставшие теперь классическими исследования по интерполяции, экстраполяции и сглаживанию временных рядов [251. Для наших целей достаточно ограничиться постановкой задачи, схематически показанной на фиг. 12.1.
(см. скан)
Конечно, выбор 
должен основываться на априорной информации о процессах 
Задача может решаться как во временной, так и в частотной областях (см., например, [17, 22]).
Фиг. 12.1.
Винер предположил, что сигналы 
стационарны, т. е. их статистические свойства не зависят от времени, и их спектральные плотности известны. Фильтр 
предполагается линейным, стационарным" и физически реализуемым. Следовательно, его можно охарактеризовать весовой фупкцией 
Если предположить, что 
являются реализациями эргодического случайного процесса, то в качестве подходящего критерия оптимальности можно принять 
При 
этот критерий сводится к минимизации
где
Минимизация осуществляется подобно тому, как это делалось в разд. 8.1, в результате чего приходим к необходимому условию, имеющему форму интегрального уравнения Фредгольма:
Для того чтобы фильтр был физически реализуем, нужно наложить на весовую функцию ограничение 
при 
При этом условии вновь получается уравнение Винера — Хопфа. Решение этого уравнения является, вообще говоря, непростой задачей. Обычно с этой целью переходят в частотную область; условие физической
реализуемости при этом вносит серьезные осложнения. Полученную в результате передаточную функцию можно записать в виде
где 
имеет полюсы и нули в левой полуплоскости комплексной переменной 
в правой полуплоскости, 
означает, что рассматриваются только полюсы в левой полуплоскости переменной 
Полученный таким образом фильтр Винера оптимален для сигналов с гауссовским распределением. Аналогичные фильтры можно получить и для дискретных сигналов [6,14]. Некоторые особенности винеровского метода фильтрации:
а) Предполагается, что априорная информация о сигнале и шуме задана в терминах корреляционных функций и спектральных плотностей. При этом возникает задача факторизации спектральной плотности, т. е. определения условий, при которых спектральную плотность можно представить в виде
(см., например, [2]).
б) Определение оптимального фильтра недостаточно хорошо подходит для цифровых вычислений.
в) Поиск оптимального фильтра заканчивается определением весовой функции 
или передаточной функции 
синтез реального фильтра при этом может оказаться совсем не простым.
г) Метод не распространяется на нестационарные сигналы.
д) Его можно использовать для объектов со многими входами и выходами, хотя это и усложняет вычисления.
