4.40. Векторные соотношения, связывающие скорость и вихрь.

Пусть единичный вектор, касательный к линии тока и направленный, вдоль скорости Пусть — единичный вектор нормали к линии тока, проведенный в направлении, по которому уменьшается, и пусть к — единичный вектор, перпендикулярный к плоскости движения и направленный таким образом, чтобы векторы образовали правую систему координат (рис. 76). Тогда где величина скорости; из п. 4.31 получим равенство

Рис. 76.

Так как векторы параллельны между собой, единичный вектор, то величина скорости равна модулю вектора Чтобы получить скорость, мы должны повернуть этот вектор на прямой угол от Следовательно,

Кроме того, применяя тройное векторное произведение, получаем равенства

Второй член представляет собой изменение вихря, вычисленное вдоль , и поэтому он равен нулю, так как движение двумерное. Следовательно,

Из формул (1) и (2) находим соотношение

Отсюда, используя тройное векторное произведение и замечая, что получаем равенство

Наконец, рассмотрим оператор Используя тройное скалярное произведение, получаем соотношение

Из (2) следует, что если модуль вихря, то

В прямоугольной декартовой системе координат эта формула, согласно п. 2.70, принимает следующий вид:

В полярных координатах имеем равенство