§ 5. Некоторые другие применения преобразований Фурье в области управления и связи

А. Понятие энергетического спектра. Использование его при разработке и исследовании оптимальных систем.

К понятию энергетического спектра приводят следующие рассуждения. Произведение двух функций может быть использовано в качестве величины, выражающей мгновенное значение энергии. Действительно, пусть, например, на каком-либо участке электрической цепи в устройстве управления или в линии связи сила тока равна и его напряжение равняется и, причем с течением времени первая их этих величин изменяется по закону и вторая по закону Мгновенное значение энергии электрического тока равно при этом Обозначим эту величину При этом суммарная энергия для всего процесса изменения величины равна

Говоря об энергии процесса а в теории связи — об энергии сигнала обычно имеют в виду выражение (2.109).

Напишем формулу обратного преобразования Фурье для функции

где спектральная плотность функции Умножая обе части уравнения (2.110) на и выполняя интегрирование в пределах от до 00, приходим к следующему равенству:

Здесь где спектральная плотность, представляющая собой комплексную величину, сопряженную с комплексной величиной Произведение равно квадрату модуля каждой из этих величин, т.е. равно Учитывая это,

Рис. 2.13

получаем формулу Парсеваля

согласно которой энергия пропорциональна интегралу от квадрата модуля спектральной плотности процесса.

В теории управления формула Парсеваля используется для определения оптимальных параметров системы. Постановку задачи оптимизации рассмотрим на следующем примере. Пусть в системе регулирования регулируемая величина х первоначально отклонилась на от значения, которое должно восстановиться по окончании переходного процесса. Идеальным был бы переходный процесс, протекающий при Он представлен на рис. 2.13, а обведенным жирной линией участком оси ординат. В реальных условиях этот процесс неосуществим, и требуется задать параметры системы так, чтобы характеристика переходного процесса, такая, например, как изображенная на том же рисунке пунктирной линией, была возможно более близка к идеальной. Так же ставится задача оптимизации и в том случае, если переходный процесс колебательный, как показано на рис. При оптимизации характеристик системы за показатель ее качества чаще всего принимается величина

Спектральной энергетической функцией или спектральной плотностью энергии называют функцию Коль скоро известна эта функция, отвечающая какому-либо процессу по формуле (2.111) может быть вычислено значение

Метод вычисления описан в курсах теории управления (см., например, с. 195,196 в книге [135}).

Наилучшим вариантом системы считается такой, при котором имеет минимальное значение. Минимизируя функцию находят оптимальное соотношение параметров системы.

Характерной является следующая задача, решение которой тоже основано на использовании формулы (2.111). Рассматривается

изображенная на рис. 2.13, в система, в которой 1 — заданный объект управления, 2 — проектируемое устройство управления. Оптимизация производится в данном случае при использовании более сложного критерия качества, чем критерий (2.112) :

где как и ранее, — интегральное квадратическое управление, энергия управления, число, характеризующее "вес" величины Применяя формулу Парсеваля (2.111), находят выражения передаточной функции и АФЧХ устройства управления, при которых минимизируется величина Минимальное значение I получается при соответствующим образом выбираемых параметрах, характеризующих работу управляющего устройства. Решение этой задачи оптимизации также рассмотрено в курсах теории автоматического управления (см. в книге [135] с. 199—202).