Г. Свойства ДПФ и z-преобразования.

Связь между ДПФ и z-преобразованием была указана раньше: значения -точечного ДПФ определяются N точками окружности единичного радиуса в z-плоскости, равномерно расположенными на окружности.

Имеют значение указываемые ниже свойства ДПФ. Прежде всего это свойство линейности ДПФ, заключающееся в следующем. Если для последовательностей конечной длительности, ДПФ которых соответственно равны справедливо равенство где постоянные коэффициенты, то соблюдается и равенство Другие важные свойства ДПФ выявляются при рассмотрении кругового сдвига последовательности, круговой свертки и линейной свертки последовательностей. Этих вопросов здесь касаться не будем, рассмотрим их отдельно в § 6.

Свойства z-преобразования (3.54) определяются тем, что z-нреобразование представляет собой степенной ряд Лорана, о котором упоминалось в § 7 гл. II, когда говорилось об использовании аппарата . В каждом конкретном случае применения z-преобразования основным является вопрос определения области сходимости Степенной ряд (3.54) сходится в кольцевой области, ограниченной окружностями радиусов таких, что . В каждой точке этой области является

регулярной функцией. В некоторых случаях в некоторых случаях Например, для имеем единичная ступенчатая последовательность; см. рис. 3.3, б). -преобразование характеризуется изображением в z-плоскости нулей и полюсов функции Область сходимости ограничена полюсами, нулем или бесконечностью, но сама полюсов не содержит, так как в полюсе уже является регулярной функцией z. В качестве примеров на рис. 3.5, а, 3.5, б и 3.5, в представлены диаграммы полюсов и нулей (нуль обозначен кружком, полюс — крестиком) и указаны области сходимости соответственно для z-преобразований последовательностей Эти примеры подробно рассмотрены в книге [85].

При формулировании свойств -преобразований каждый раз оговаривают, какие имеют в виду значения радиусов и оговаривают, как определяют там, где это нужно, зависящие от них величины.

Перечислим основные свойства z-преобразований. Свойство линейности формулируется следующим образом. Рассматриваются последовательность -преобразованием которой является при радиусах таких, что и последовательность -преобразованием которой служит при радиусах таких, что При этом z-преобразованием последовательности является при радиусах таких, что Для рациональных при условии, что полюсы являются объединением полюсов областью сходимости является пересечение областей сходимости есть максимальное минимальное из Если некоторые полюсы при получении компенсируются нулями, область сходимости может быть шире, чем было указано выше.

Свойство изменения z-преобразования при сдвиге последовательности формируется так. Если задана последовательность -преобразование которой есть при то -преобразованием последовательности является

Рис. 2.5

при тех же значениях . В обоих случаях области сходимости одинаковы, за исключением точек или

Следующее из расматриваемых свойств z-преобразований касается получениях из z-преобразования исходной последовательности при -преобразования последовательности где а может быть комплексной величиной. Имеет место следующее соотношение между Задавая соответствующее значение коэффициента , производят практически важные преобразования z-плоскости, ее растяжение или сжатие, или же, если а - величина комплексная, ее поворот.

Используются также следующие свойства z-преобразования. Производная будучи умноженной на представляет собой z-преобразование последовательности при Для последовательности комплексно сопряженной с последовательностью для которой z-преобразованием служит при является z-преобразованием при Аналогично тому, как это было для непрерьшных преобразований Фурье и Лапласа, формулируется теорема о начальном значении последовательности если для то

Важные свойства z-преобразования проявляются при выполнении z-преобразования от свертки последовательностей и при применениях так называемой теоремы о комплексной свертке. Эти вопросы будут рассмотрены особо в . В § 6.