206. Сравнение полуограниченных операторов.

Пусть А и В — полуограниченные самосопряженные операторы. Говорят, что А не меньше В, и пишут , если и

Если А и В имеют чисто точечный спектр и собственные значения А и В можно пронумеровать в порядке их неубывания, учитывая их кратность, то, перенося минимо-максимальный принцип [136] на случай неограниченных операторов, можно показать, что где собственное значение А и В. Мы докажем несколько более общую теорему.

Теорема. Пусть и спектр В, расположенный на полупрямой при некотором , состоит из собственных значений конечной кратности, которые не имеют точек сгущения, меньших . При этом спектр А обладает тем же свойством и на упомянутой полупрямой.

Достаточно показать, что при любом , причем В отлично от собственных значений А и размерность подпространства, соответствующего проектору , не больше размерности подпространства, соответствующего проектору где спектральные функции А и В:

Предположим, что имеет место обратное неравенство. При этом в должен существовать нормированный элемент ортогональный ко всему . Отметим, что и тем самым ибо из Мы имеем

С другой стороны, в силу имеем

Но, поскольку постоянно в некоторой окрестности точки существует такое что

Это неравенство противоречит (151) и (153), и тем самым неравенство (152) доказано.

Замечание. Вернемся к симметричным полуограниченным операторам. Пусть А — такой оператор (не обязательно определенно положительный). Определим для него пространство Пусть а — любое число, удовлетворяющее неравенству , так что оператор положительно определенный. Будем считать, что На состоит из всех элементов На и введем в На билинейный функционал который является расширением на все На

Функционал непрерывен на НА. Нетрудно показать, что

где - спектральная функция самосопряженного оператора А. Отметим еще, что На состоит при всех а из одних и тех же элементов. Это следует из того, что не зависит от а, и при всех нормы эквивалентны. Отметим, что оператор А может быть и самосопряженным.

Нетрудно показать, что условие (151) равносильно условию

а также тот факт, что спектр самосопряженного оператора А на полупрямой где роль указана в теореме, можно найти как последовательные нижние грани при при условии ортогональности к уже найденным собственным элементам Можно заменить эту задачу на задачу последовательных минимумов при На и