94. Сепарабельность.

Метрическое пространство X, содержащее бесчисленное множество элементов, называется сепарабельным, если существует счетное множество элементов плотное в X, т. е. для любого и любого имеется такой элемент из упомянутого множества, что

Выше мы доказали сепарабельность . В пространстве С упомянутое счетное множество есть, например, множество всех полиномов с рациональными коэффициентами. В пространстве таким множеством является множество элементов у которого все числа рациональны или (в случае комплексного пространства) имеют вид где — вещественные рациональные числа.

В пространстве это множество есть множество элементов вида причем все рациональные числа.

Покажем, что пространство не сепарабельно. Рассмотрим множество U различных элементов из таких, что числа равны или нулю или единице. Считая, что есть знак после запятой у числа, написанного по системе счисления с основанием два, мы видим, что множество U несчетно. Принимая во внимание сказанное в [1], легко видеть, что оно имеет мощность континуума. Для любых двух различных элементов и у из U имеем Пусть пространство сепарабельно, т. е. имеется счетное множество элементов , плотное в сферы с центром и радиусом Множество этих сфер счетно, и, по крайней мере, в одной из них принадлежит более одного элемента U. Пусть у и -различные элементы U, находящиеся в одной из указанных сфер. Мы имеем: что противоречит и несепарабельность доказана.

Теорема. Всякое множество U элементов сепарабельного пространства X сепарабельно.

Нам надо доказать существование конечного или счетного множества элементов U, плотного в U. В силу сепарабельности имеется счетное множество элементов X, плотное в X. Через обозначим сферу с центром и радиусом . Рассмотрим сферы и, если какая-либо из этих

сфер содержит элементы U, выберем один из этих элементов. Таким образом, получим конечное или счетное множество элементов U. Пусть и — любой элемент U и заданное положительное число. Докажем, что, по крайней мере, для одного из элементов выполняется неравенство Мы можем при этом считать так что существует такое целое положительное число что

В силу того, что множество плотно в X, существует такое что следует, что сфера содержит элементы U. Пусть тот элемент который мы выбрали из этой сферы (он может и не совпадать с ). Поскольку и и имеем что и требовалось доказать.