695. Комплексная форма рядов Фурье.

Рассмотрим снова произвольную функцию с периодом абсолютно интегрируемую в любом конечном промежутке, и связанный с нею ряд Фурье:

Его коэффициенты определяются формулами

Если заменить теперь их выражениями через показательную функцию от чисто мнимого аргумента [457]:

то получится ряд

Его короче можно записать так:

полагая

так что

Это и есть комплексная форма ряда Фурье функции

Если соблюдены достаточные условия сходимости ряда (8) к функции то к той же сумме сходится и ряд (10), если только (как явствует из самого способа его получения) процесс суммирования его понимать как разыскание предела при симметрично составленной суммы

Впрочем, если сходятся порознь ряды

то упомянутый предел получается путем сложения их сумм.

Коэффициенты разложения (10), определяемые формулами (11), если учесть формулы Эйлера — Фурье (9), могут быть записаны единообразно:

Эти коэффициенты могли бы быть получены и непосредственно, подобно коэффициентам если, допустив, что функция разлагается в ряд (10) (так что вместо можно поставить умножить обе части равенства на и проинтегрировать от — до причем справа выполнить интегрирование почленно.

Если имеем комплексную функцию

где — вещественные функции рассмотренного типа, то естественно рядом Фурье функции назвать формальную сумму рядов Фурье функций из которых второй предварительно почленно умножен на I. В комплексной форме ряд Фурье функции имеет вид (10), где коэффициенты как и только что, выражаются формулами (13). [Но в общем случае, конечно, нельзя утверждать сопряженности коэффициентов и ]

Иногда разложение функции в ряд Фурье естественно и непосредственно получается именно в комплексной форме. В качестве примера вспомним производящую функцию для функций Бесселя и ее разложение [395, 14)]:

Нетрудно видеть, что это разложение имеет место для всех комплексных значений отличных от нуля. Положив здесь найдем:

комплексная функция

оказалась разложенной в ряд типа (10), который сходится равномерно относительно х (по свойству степенных рядов) и потому заведомо будет ее рядом Фурье.

Вспомнив, что

[395, 14)], перепишем полученное разложение в виде:

Если приравнять отдельно вещественные и мнимые части выражений (15) и (16), то придем к интересным разложениям:

Отсюда, заменяя x на можно вывести и другие два разложения:

Наконец, если применить к вычислению коэффициентов разложения (14) формулы (13), то получим известные интегральные выражения для бесселевых функций:

которые нам не раз встречались.