694. Примеры.
Во всех задачах сходимость предложенных рядов предоставляется установить читателю.
1) Просуммировать ряды:
Решение. Здесь
так что
Отсюда
2) Просуммировать ряды
Указание. Функция 
равна
в случаях (а), 
она равна
в случаях (в), (г). Использовать разложения синуса и косинуса от комплексного аргумента на вещественную и мнимую части [359]:
Ответ.
3) Просуммировать ряды:
(а), (б). Решение. Соответствующий этим случаям ряд
непосредственно не дает известной нам элементарной функции, но если, использовав очевидное равенство
преобразовать его следующим образом:
то, вспоминая логарифмический ряд [459], легко уже найдем, что
Подставим теперь сюда 
Имеем:
так что (для 
) модуль этого выражения есть 
а аргумент 
Окончательно,
Отсюда для — 
(в) — (з). Указание. Во всех случаях, используя соответственно равенства
свести дело к логарифмическому ряду.
Ответ, 
[По поводу (в) — (е) ср. 690, 21).]
4) Просуммировать ряд:
Указание, 
Ответ. Ограничиваясь промежутком 
, имеем
5) Просуммировать ряды:
Указание. Используя разложения
«на простые дроби», свести дело к 
.
Ответ, 
в обоих случаях для 
.
6) Просуммировать ряды:
(а), (б). Решение. Составив ряд
узнаем в нем разложение арктангенса:
которое имеет место для 
исключая 
Положим здесь 
ограничиваясь промежутком 
, но исключая 
Имеем:
так что модуль этого выражения есть 
, а аргумент равен 
или 
в зависимости от того, будет ли 
или 
. Следовательно,
и
Итак,
и для тех же значений х
(в) Указание. Сочетая только что полученный результат с результатом упражнения 4), найдем:
7) Просуммировать ряды:
Решение. Для случаев (а) и (б):
[459]. Далее, для 
Это легко проверить, установив, что синус выражения справа действительно равен 
Впрочем, нетрудно и вывести это выражение, найдя и, 
из уравнений
Итак,
Для случаев (в) и 
получается ряд: 
