Задача Гурвица.
В механике, именно в теории колебаний и регулирования, очень важны условия, позволяющие узнать, будут ли все корни данного многочлена 
(с действительными коэффициентами) иметь отрицательные, действительные части, т. е. будут ли все корни расположены в полуплоскости налево от мнимой оси.
Рис. 11.
Рис. 12.
Один критерий для решения этой задачи легко получить из соображений, сходных с принципом аргумента.
Будем предполагать, что 
Пусть точка z (рис. 11) проходит мнимую ось сверху вниз, т. е. пусть 
причем у изменяется от 
сю до 
оставаясь действительным. Тогда 
зачертит некоторую кривую линию, имеющую бесконечные ветви. Для исследования технически удобнее тесно связанная с ней кривая, зачерчиваемая функцией
где
Так как 
и, следовательно, приращения аргументов 
одинаковы.
Подсчитаем приращение аргумента точки 
пока z проходит сверху вниз мнимую ось.
Пусть 
Тогда 
Геометрически очевидно, что приращение 
равно те, если z лежит в правой полуплоскости, и равно 
, если z лежит в левой полуплоскости (рис. 11).
Поэтому приращение аргумента 
равно те 
где 
число корней 
в правой полуплоскости, 
число корней в левой полуплоскости. Для того чтобы все корни лежали в левой полуплоскости, необходимо и достаточно, чтобы приращение аргумента точки 
равнялось 
т. е. чтобы точка 
совершила 
полуоборотов по часовой стрелке вокруг начала координат (рис. 12).
Заметим, что точка 
пересекает мнимую ось при значениях у, являющихся корнями 
а действительную ось — при корнях (у). Так как 
имеет не более 
действительных корней а число действительных корней 
не более 
легко убедиться Геометрически, что 
может совершить 
полных полуоборотов 
часовой стрелке в том и только в том случае, если кривая идет 
: четвертого квадранта и затем пересекает по очереди отрицательную часть, мнимой оси, отрицательную часть действительной оси, положительную часть мнимой 
положительную часть действительной оси и т. 
так, что общее число точек пересечения с мнимой осью равно 
одной на каждый полуоборот), а с действительной осью равно 
— (на единицу меньше полуоборотов). Поэтому коэффициент 
должен быть положительным, а корни многочленов 
должны быть Все действительными и все перемежающимися. Последнее означает, что если 
— корни 
расположенные в порядке убывания. 
— корни 
, то 
Итак, для того 
чтобы все корни многочлена 
с действительными коэффициентами и с 
лежали в левой полуплоскости, необходимо и достаточно, чтобы коэффициент 
был положительным и корни многочленов 
— были все действительными и перемежались
Это условие равносильно известному условию Гурвица, заключающемуся в положительности определителей
в которых все 
с номерами, мейыпими нуля и большими 
должнк быть заменены нулями (что такое определители, см. в главе XVI том 3, § 3
