§ 16. Разложение оригиналов и изображений в ряды (теоремы разложений)

Теорема 23 (первая теорема разложения). Пусть разлагается по степеням — в ряд

сходящийся при Тогда ряд

являющийся формально оригиналом для представляет собой целую функцию от переменного

Доказательство. Учитывая, что

видим, что ряд (11.91) является формально оригиналом для изображения (11.90). Покажем, что ряд (11.91) представляет собой целую функцию переменного Для этого положим Тогда и разложение (11.90) принимает вид

Функция является аналитической функцией для На основании неравенства Коши для коэффициентов ряда (11.92)

Тогда

Отсюда видно, что ряд (11.91) сходится во всей плоскости является целой функцией переменного

Из неравенства (11.93) непосредственно следует, что для

Таким образом, функция является начальной функцией. Поскольку ряд (11.91) равномерно сходится для всех значений его

можно, умножив на почленно проинтегрировать по в пределах от нуля до бесконечности. Тогда

т. е.

Примечание 1. Можно легко доказать и обратное, т. е. если оригинал — целая функция

для которой

то его изображение разлагается в сходящийся ряд по степеням при . В этом случае, как видно из функция должна иметь конечный показатель роста.

Примечание при при стремятся к одному и тому же пределу.

Примечание 3. Из теоремы 23 видно, что операционный переход от степенных рядов, расположенных по степеням величины к степенным рядам, взятым по приводит к сходящимся во всей плоскости рядам. Обратный операционный переход от заданных степенных рядов переменного не всегда приводит к сходящимся рядам, так как новые коэффициенты получаются из коэффициентов заданного ряда при умножении на Таким образом, могут рассматриваться асимптотические разложения, что также входит в задачу операционного исчисления.

Теорема 24 (вторая теорема разложения — случай простых корней). Пусть изображение представляет собой дробнорациональную функцию

и пусть все корни знаменателя будут простыми, причем среди них нет корня, равного нулю. Тогда соответствующий оригинал находится по формуле

Доказательство. Разложим на простейшие дроби

Найдем коэффициенты в (11.98):

Подставляя эти коэффициенты в (11.98), получаем

Принимая теперь во внимание, что

окончательно находим

Примечание 1. Случай исключается, так как при этом могла бы быть выделена целая положительная степень величины и начальная функция для такого вида изображения представляла бы собой некоторую разрывную функцию.

Примечание 2. Если знаменатель дробно-рациональной функции имеет среди корней один нулевой корень (пусть , причем ), то для получим разложение

и, следовательно, применив для нахождения коэффициентов ск формулу (11.99), придем к виду для оригинала

Эта формула применяется при решении некоторых задач электротехники и др.

Теорема 25 (вторая теорема разложения случай кратных корней). Пусть изображение представляет собой дробнорациональную функцию

знаменателя будут кратными с кратностями, соответственно равными причем Тогда соответствующий оригинал находится по формуле

Доказательство. В рассматриваемом случае разложение функции на простейшие дроби принимает вид

Умножим обе части (11.105) на и введем обозначение

где величина остается конечной при

Тогда при

Далее обе части (11.106) последовательно дифференцируем по и каждый раз после дифференцирования придаем величине значение В результате получаем

Подставляя (11.107) в (11.105), приходим к требуемому разложению функции на простейшие дроби для случая кратных корней, а именно

Принимая во внимание, что для каждого слагаемого выполняется соотношение

окончательно получаем

Примечание. Если знаменатель дробно-рациональной функции имеет кроме указанных корней еще один нулевой корень, т. е. в знаменателе будет причем , то соответствующая символическая формула принимает вид

При выводе этой формулы следует поступать так, как было указано в примечании 2 к теореме 24.

Теорема 26 (обобщенная теорема разложения на случай мероморфных функций). Пусть мероморфная функция с простыми полюсами причем вещественные части последних ограничены т. е. все полюсы лежат слева от некоторой прямой, параллельной мнимой оси плоскости р. Эта функция представлена в виде частного от деления двух целых функций .

Пусть, кроме того, можно построить систему окружностей с центром в начале координат, не проходящие через полюсы так, что на всех выполняется неравенство где М не зависит от .

Тогда будет изображением функции

Доказательство. В соответствии с условием разлагается в ряд

где

Рассмотрим систему контуров составленных из дуг окружностей и соответствующих отрезков прямой отсекаемых окружностями, и обозначим число полюсов лежащих внутри через При этом предположим, что индексы при возрастают в порядке возрастания модулей полюсов. Тогда по теореме Коши о вычетах

Следовательно, можно записать

Примечание. Вместо требования о том, чтобы все полюсы функции лежали слева от можно ограничиться предположением, что справа от указанной прямой лежит конечное число полюсов этой функции.

Пример. Исследуем функцию

Ее знаменатель имеет две критические точки Так как обусловлено, что то, следовательно, мы рассматриваем значения не только вне соответствующего разреза, но и вне круга для которых эта функция является голоморфной. Разложим функцию по степеням-. Тогда

Теперь воспользуемся операционным соотношением (вывод см. в § 20)

Учитывая, что в разложении функции перед знаком суммы есть множитель получаем

Но из математического анализа известно, что

где — функция Бесселя. Тогда

Следовательно,