5.5.2. Взвешенно-медианные фильтры

В простых медианных фильтрах все величины х в пределах апертуры влияют на результат фильтрации. Но иногда желательно придать больший вес центральным точкам. Эта возможность реализована в фильтре следующего вида. Для простоты рассмотрим только одномерные фильтры.

Основная идея состоит в изменении числа элементов в каждом наборе путем повторения раз элементов и нахождения медианы по такой растянутой последовательности чисел. Назовем полученный фильтр взвешенно-медианным. Поясним это с помощью простого примера. Для имеем

Если веса симметричны, и если нечетно, то взвешенно-медианный фильтр сохраняет перепады.

Если входной сигнал является белым шумом с плотностью вероятностей то взвешенная медиана с весами для больших распределена приблизительно по нормальному закону где — теоретическая медиана и

Так как этот результат нигде больше не приводился, дадим краткое указание для его доказательства. Используя обобщенное представление Бахадура [см. (5.50)], получаем:

По центральной предельной теореме выражение в правой части имеет приблизительно нормальное распределение при выполнении условия Линдберга, которое для весов последовательности имеет вид:

Это условие по существу требует, чтобы ни один из весов не был значительно больше остальных,