5.5.3. Итерационные медианные фильтры

Поскольку при медианной фильтрации сохраняются перепады, то они сохраняются и при итеративном применении медианных фильтров [5.1, 5.8]. Тьюки предложил замечательную методику сглаживания, заключающуюся в том, чтобы повторять медианную фильтрацию до тех пор, пока не прекратятся изменения, т. е. пока не получится последовательность, инвариантная к медианной фильтрации (стабильная точка, гл. 6). Заметим, что такая инвариантная последовательность не обязательно должна состоять из одинаковых элементов (в отличие от последовательностей, получаемых при итерации скользящего усреднения стационарных последовательностей которые в конце концов становятся последовательностями с постоянными значениями).

Статистические свойства итерационных медианных фильтров проанализировать трудно. Можно поделиться здесь некоторым опытом, полученным при моделировании одномерных процессов . При неотрицательно коррелированных -последовательностях с параметром для получения инвариантной последовательности было нужно только несколько итераций и после первой медианной фильтрации наблюдались лишь небольшие изменения. Поэтому представляется вероятным, что формулы дисперсии для простых медиан приближенно справедливы также и для итерационных медианных фильтров при обработке процессов с неотрицательными ковариационными функциями. Для процессов с чередующимися положительными и отрицательными корреляциями, для получения инвариантной последовательности потребовалось большое число итераций, и во время процесса фильтрации происходили большие изменения. Результирующие последовательности были гораздо более гладкими и ближе к среднему уровню, чем последовательности после одного шага фильтрации.

При использовании итерационных медианных фильтров можно, конечно, менять апертуры от шага к шагу итерации. Прэтт [5.8] и Нарендра [5.17] исследовали метод двумерной фильтрации, в котором сначала к каждой строке изображения применяется одномерный медианный фильтр, а затем к каждому столбцу обработанного

изображения также применяется одномерный медианным фильтр, т. е. сначала

после чего

Такой фильтр называется разделимым медианным фильтром. Его статистические свойства можно проанализировать теоретически, если — белый шум с плотностью вероятностей (см. [5.17]). Главное заключается в том, что переменные в (5.76) независимы, так как они определяются переменными х в различных строках. Нарендра нашел точный вид плотности вероятностей переменных с помощью (5.8) и подставил в приближенную формулу дисперсии (5.9) для у. Мы приведем несколько более простую формулу, полученную при использовании того факта, что согласно есть приблизительно нормальная плотность Подставив эту величину в (5.12), получим

Для нормальных величин с помощью (5.77) и небольшой модификации, описанной в подразд. 5.2.1, получим

При больших это дает дисперсию выходного сигнала, равную тогда как дисперсия для простой медианы по апертуре равна а дисперсия скользящего среднего по апертуре равна Дисперсия последовательности на выходе разделимого медианного фильтра примерно на 57% больше, чем дисперсия медианы по апертуре и примерно на 147%, превышает дисперсию скользящего среднего.