§ 11. Каноническое преобразование как оператор

Каноническое преобразование удобно писать в символическом виде. Обозначим символом оператор, который переводит функцию с описывающую состояние в переменных Я, в функцию описывающую то же состояние в переменных тогда разложение (1) § 9 можно символически написать в виде

Этот оператор отличается от рассмотренных нами раньше тем, что он переводит функцию от данной независимой переменной в функцию от другой независимой переменной х, причем обе функции описывают одно и то же состояние, только в разных переменных.

Выражение с через т. е. формулу (2) § 9, можно написать в виде

Покажем, что этот обратный оператор совпадает с сопряженным Рассмотрим наряду с функциями и с другие две функции связанные между собой теми же соотношениями (1) и (2). Обобщая прежнее определение сопряженного оператора на случай разных независимых переменных, определим как оператор, удовлетворяющий условию

причем, в случае точечного спектра, интеграл нужно заменить на сумму. Левая часть здесь равна

по теореме замкнутости. Чтобы правые части в (3) и (4) были равны при любом с необходимо, чтобы

для всякого Сравнивая это с (2), получаем

так что

Как мы знаем, оператор, удовлетворяющий этим условиям, называется унитарным. Таким образом, переход от одних независимых переменных к другим производится посредством унитарного оператора.

Посмотрим, как выразится при помощи 5 каноническое преобразование оператора для некоторой величины Если оператор в переменных х переводит

то тот же оператор в переменных А переводит, как мы знаем, с в

Но мы имеем

и

Подставляя (11) и (10), получим

Сравнивая это с (9), будем иметь

Таким образом, преобразованию (11) функции соответствует преобразование (13) оператора

Очевидно, что два последовательных унитарных преобразования могут быть заменены одним. В самом деле, вместо того, чтобы сперва переходить от переменных к переменным х посредством унитарного преобразования а затем от посредством мы можем сразу перейти от к при помощи преобразования

которое, очевидно, будет тоже унитарным.

Унитарный оператор вообще говоря, имеет ядро. Сравнивая (1) с (1) § 9 и (2) или (5) с (2) § 9, легко видеть, что

Таким образом, ядро оператора унитарного преобразования от переменных (т. е. ) к переменным х равно собственной функции оператора в переменных х.