Задача 12. Повторное измерение

Гамильтониан системы не зависит от времени, а его собственные векторы принадлежат невырожденным собственным значениям

В том же самом гильбертовом пространстве состояний определен оператор А, также обладающий невырожденными собственными значениями:

Вначале система находится в состоянии затем в этой системе производят измерение наблюдаемой А. Чему равно математическое ожидание наблюдаемой А и какова вероятность обнаружить в результате этого измерения значение наблюдаемой А, равное Пусть в результате измерения наблюдаемой А получено значение Чему равна вероятность обнаружить это же значение

если спустя время произвести повторное измерение наблюдаемой A?

Решение. В начальном состоянии математическое ожидание наблюдаемой А равно Подставляя сюда разложения

получаем

Так как

то последнее выражение упрощается:

Поэтому вероятность обнаружить в результате первого измерения значение равна

Сразу же после измерения система вместо исходного состояния оказывается в состоянии ту. Дальнейшая эволюция системы определяется уравнением Шредингера

и начальным условием

Здесь и далее означает вектор состояния в момент временив. Так как гамильтониан не зависит от времени, то

Если воспользоваться разложением вектора ту по собственным векторам гамильтониана

и учесть, что

то выражение (12.6) нетрудно привести к виду

Аргументация, которая ранее привела нас к соотношение (12.4), позволяет теперь заключить, что вероятность вновь обнаружить значение при повторном измерении в момент времени равна

причем