Задача 55. Преобразование сферических гармоник

Пусть конечный поворот системы координат характеризуется тремя углами Эйлера а, у. Выяснить трансформационные свойства волновых функций, являющихся сферическими гармониками.

Решение. Начнем с общепринятого определения углов Эйлера. Исходная система координат х, у, z сначала поворачивается на угол а вокруг оси причем В результате получается система координат которую теперь следует повернуть на угол вокруг оси Получающуюся таким образом промежуточную систему координат

в заключение поворачивают на угол вокруг оси и она переходит в систему координат

Путем последовательного применения формул (48.1) нетрудно убедиться, что всякая волновая функция при повороте вокруг оси А на конечный угол преобразуется по закону

Таким образом, закон преобразования волновой функции при трех следующих друг за другом эйлеровых поворотах имеет вид

где

Теперь мы попытаемся выразить три поворота вокруг осей 2а, фигурирующие в формуле (55.3), через повороты вокруг осей исходной системы координат.

Фиг. 32. Повороты осей координатных систем.

Чтобы произвести поворот на угол вокруг оси обратимся к фиг. 32, а, на которой оси совпадают между собой и перпендикулярны плоскости чертежа, а оси у и образуют угол а. Мы заменим поворот на угол вокруг оси сначала обратным поворотом системы координат на угол —а вокруг оси затем произведем поворот на угол вокруг оси у вместо оси и наконец повернем систему координат снова вокруг оси на угол Таким образом, имеем

Аналогичным образом мы разложим поворот на угол 7 вокруг оси (фиг. 32,б). Для этого сначала повернем ось назад на угол вокруг оси затем повернем ось на угол 7 вокруг оси z и наконец восстановим исходное положение оси с помощью поворота на угол вокруг оси

Комбинируя равенства (55.3) — (55.5), в результате находим

или

Формула (55.6) является весьма общей и по существу чисто геометрической формулой; ниже мы ее применим в частном случае сферических гармоник. Функция является собственной функцией оператора принадлежащей собственному значению Оператор как нетрудно усмотреть из результатов задачи 56, может изменять только индекс но не индекс поэтому в новой системе координат мы в соответствии с формулой (55.2) будем иметь

Перейдем к вычислению коэффициентов разложения:

или короче

где оператор, определенный формулой (55.6). Далее мы можем написать 11

и, следовательно,

где

— довольно сложная функция переменной Таким образом, закон преобразования сферических гармоник имеет вид