§ 21.4. Решение в форме степенных рядов.

Рассмотрим автономную систему, обладающую тем свойством, что в области функции имеют производные всех порядков. Введем функцию зависящую от времени. Здесь положение изображающей точки в момент t. Тогда будем иметь

С другой стороны,

следовательно,

и вообще

Если при то, предположив, что ряд Тейлора сходится, найдем

Здесь обозначает оператор

Равенство (21.4.5) можно записать в компактной форме

представляющей решение уравнений

Ряд для наверняка сходится, если ограничено (для всех на траектории, соединяющей Таким образом, вообще говоря, при фиксированном а ряд будет сходиться внутри круга сходимости радиуса Решение будет справедливо для всех координат если где наименьшее из чисел

В более общем случае начальная точка может не быть фиксирована, а лежать в некоторой области Тогда радиус сходимости не должен превышать наименьшего значения для а в области

Приведем другое доказательство того, что ряд (21.4.5) является решением. Согласно есть интеграл уравнений (21.1.1); поэтому в соответствии с (21.1.13)

Следовательно,

или

Таким образом, функция удовлетворяет уравнению

Но если бесконечно дифференцируемые функции, то это уравнение, очевидно, удовлетворяется рядом

который при имеет значение Таким образом, выражение (21.4.12) равно и мы снова получаем (21.4.5).

Решение в форме степенного ряда при достаточно малых t дает явное выражение для оператора

Отсюда легко установить основное групповое свойство. Возьмем любую аналитическую функцию и проследим за ее изменением при движении точки х вдоль траектории. Имеем

так что функция не будет изменяться только в том случае, когда

т. е. только тогда, когда удовлетворяет уравнению (21.1.11). Таким образом, инвариантные функции являются интегралами уравнений (21.1.6), т. е. они являются пространственными интегралами системы (21.1.2). Мы получили (теперь уже с иной точки зрения) подтверждение того, что интегралы (21.1.6) определяют многообразия, образованные из траекторий.

В простейших случаях степенные ряды сходятся для всех значений t (см. ниже примеры Однако в общем случае решение сохраняет силу только для достаточно малых значений t.

Пример Гармонический осциллятор. Уравнения имеют вид

Ищется решение, удовлетворяющее условиям: и при . В рассматриваемом случае оператор со равен

и решение имеет вид

Далее, имеем

и т. д. Таким образом,

Аналогично

Последний результат, разумеется, проще получается из соотношения и — х. Мы пришли к хорошо известному решению. Заметим, что решения обладают свойством обратимости (см. (21.1.5) и

В рассматриваемом элементарном случае все результаты получаются из простых соображений (см. пример 19.4В). Положим тогда уравнения запишутся в форме

и преобразование сведется к простому повороту на угол по ходу часовой стрелки. Поэтому, чтобы получить явные формулы, достаточно повернуть оси координат против хода часовой стрелки на угол и представить координаты начальной точки в новых осях. Проделав это, получим

что эквивалентно (21.4.20), (21.4.21).

Пример Однородное поле. Этот случай еще проще предыдущего, поскольку ряды представляют здесь конечные суммы. Имеем

и

Таким образом,

Отсюда приходим к известному решению

Укажем снова на свойство обратимости решений: выразив а через мы придем к тем же самым формулам, но в которых и а поменялись местами, а t заменилось на — Пример Ньютоновская орбита. В этом случае имеем

где обозначают соответственно Предполагается, что в начальный момент

Уравнения движения Гамильтона записываются в виде

Оператор равен

Для нахождения имеем

и т. д. В результате получаем

Это выражение дает приближенное значение для малых Однако в общем случае удобнее пользоваться разложением в ряд Фурье (§ 18.14). Чтобы определить напишем сначала

и т. д. В результате получаем

Решение для определяется из уравнения а решение для имеет простой вид: