Аналитическая динамика
ОглавлениеИЗ ПРЕДИСЛОВИЯ АВТОРАГлава I. ДВИЖЕНИЕ МАТЕРИАЛЬНОЙ ТОЧКИ § 1.1. Свободная материальная точка. § 1.2. Прямолинейное движение материальной точки в силовом поле. § 1.3. Либрационное движение. § 1.4. Заданная сила не может быть функцией от ускорения. § 1.5. Несвободная материальная точка (случай I). § 1.6. Несвободная материальная точка (случай II). § 1.7. Несвободная материальная точка (случай III). § 1.8. Голономные и неголономные системы. Глава II. МЕХАНИЧЕСКИЕ СИСТЕМЫ § 2.1. Система двух материальных точек. § 2.2. Система материальных точек. § 2.3. Катастатическая система. § 2.4. Реакции связей. § 2.5. К понятию о механической системе. Глава III. ПЕРВАЯ ФОРМА ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ § 3.2. Сохранение импульса. § 3.3. Катастатическая система и первая форма уравнения энергии. § 3.4. Консервативные силы и вторая форма уравнения энергии. § 3.5. Третья форма уравнения энергии. § 3.6. Сохранение энергии. § 3.7. Принцип Гамильтона. § 3.8. Варьированный путь. § 3.9. Распределенные системы. Глава IV. ВТОРАЯ И ТРЕТЬЯ ФОРМЫ ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ § 4.1. Вторая форма основного уравнения. § 4.2. Третья форма основного уравнения. § 4.3. Принцип Гаусса наименьшего принуждения. § 4.4. Приложения принципа Гаусса. § 4.5. Физический смысл принципа Гаусса. Глава V. ЛАГРАНЖЕВЫ КООРДИНАТЫ § 5.2. Некоторые классические задачи. § 5.3. Сферический маятник. § 5.4. Задача двух тел. § 5.5. Уравнение Кеплера. § 5.6. Столкновение. § 5.7. Лагранжевы координаты для голономной системы. § 5.8. Лагранжевы координаты для неголономной системы. § 5.9. Качение тела. § 5.10. Достижимость. § 5.11. Варьированный путь в принципе Гамильтона. § 5.12. Обзор полученных результатов. Глава VI. УРАВНЕНИЯ ЛАГРАНЖА § 6.1. Четвертая форма основного уравнения. Лагранжевы координаты. § 6.2. Уравнения Лагранжа. § 6.3. Вывод уравнений Лагранжа из принципа Гамильтона. § 6.4. Форма уравнений Лагранжа. § 6.5. Консервативные системы и другие системы, обладающие потенциальной функцией. § 6.6. Функция Лагранжа. § 6.7. Интеграл Якоби. § 6.8. Явная форма интеграла Якоби. § 6.9. Об одной ошибке. § 6.11. Циклические координаты. § 6.12. Инвариантность уравнений Лагранжа. Глава VII. ТЕОРИЯ ПОВОРОТОВ § 7.2. Теорема Эйлера. § 7.3. Матрица l и вектор Т. § 7.4. Обобщение теоремы Эйлера. § 7.5. Теорема Шаля. § 7.6. Формула поворота. § 7.7. Полуобороты и отражения. § 7.8. Кватернионная форма записи формулы поворота. § 7.9. Сложение вращений. § 7.10. Угловая скорость. § 7.11. Ориентация твердого тела в пространстве. Углы Эйлера. § 7.12. Ориентация твердого тела в пространстве. Углы ... § 7.13. Повороты около движущихся осей. § 7.14. Повороты около неподвижных осей. § 7.15. Определение угловой скорости с помощью матриц § 7.16. Составляющие вектора угловой скорости. Глава VIII. ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА § 8.1. Дифференциальные уравнения. § 8.2. Формулы ускорения в ортогональных координатах. § 8.3. Обезьяна и противовес. § 8.4. Кинетическая энергия твердого тела. § 8.5. Задача о движении в двух измерениях. § 8.6. Вращающийся волчок; основные уравнения. § 8.7. Вращающийся волчок; другое решение. § 8.8. Гироскопические силы. § 8.9. Вращающийся волчок; исследование движения. § 8.10. Численный пример. § 8.11. Стержень во вращающейся плоскости. § 8.12. Качение диска. Глава IX. ТЕОРИЯ КОЛЕБАНИЙ § 9.1. Колебания около положения равновесия. § 9.2. Теория преобразования к главным координатам. § 9.3. Приложение теории. § 9.4. Наложение связи. § 9.5. Принцип Релея. § 9.6. Устойчивость установившегося движения. § 9.7. Колебания в окрестности установившегося движения. § 9.8. Гироскоп Фуко. § 9.9. Спящий волчок. § 9.10. Вынужденные колебания. Глава X. ДАЛЬНЕЙШИЕ ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ЛАГРАНЖА § 10.2. Исключение одной координаты. § 10.3. Гироскопическая устойчивость. § 10.4. Явное выражение для R в общем случае. § 10.5. Вращающийся волчок. § 10.6. Линейные члены в функции L. § 10.7. Движение относительно подвижной системы отсчета. § 10.8. Движение частицы вблизи заданной точки на поверхности Земли. § 10.9. Маятник Фуко. § 10.10. Движение снаряда. § 10.11. Диссипативная функция Релея. § 10.12. Гироскопическая система с диссипацией. § 10.13. Уравнения Гамильтона. § 10.14. Уравнение энергии и явное выражение для Н. § 10.15. Главный триэдр. Глава XI. ПЕРЕМЕННАЯ МАССА § 11.1. Частица переменной массы. Функция Лагранжа. § 11.2. Кинетическая энергия. § 11.3. Функция Гамильтона. § 11.4. Движущийся электрон. § 11.2. Кинетическая энергия. § 11.5. Электрон в электромагнитном поле. Глава XII. УРАВНЕНИЯ ГИББСА-АППЕЛЯ § 12.3. Пятая форма основного уравнения. § 12.5. Уравнения Гиббса — Аппеля. Глава XIII. ПРИЛОЖЕНИЯ УРАВНЕНИЙ ГИББСА-АППЕЛЯ § 13.2. Аналог теоремы Кёнига. § 13.3. Плоское движение. § 13.4. Движение твердого тела. § 13.5. Шар на вращающейся плоскости. § 13.6. Шар на вращающейся наклонной плоскости. § 13.7. Качение шара по неподвижной поверхности. § 13.8. Вращающийся волчок. § 13.9. Качение монеты (тонкого диска). § 13.10. Уравнения Эйлера. § 13.11. Свободное тело; случай осевой симметрии. § 13.12. Свободное тело; общий случай. § 13.13. Ориентация свободного тела. § 13.14. Теоремы Пуансо и Сильвестра. § 13.15. Качение эллипсоида по шероховатой горизонтальной плоскости. § 13.16. Устойчивость вращающегося эллипсоида. Глава XIV. ТЕОРИЯ УДАРА § 14.1. Ударный импульс. § 14.2. Импульсные связи. § 14.3. Движение системы, на которую действуют ударные импульсы. Основное уравнение теории удара. § 14.4. Катастатическая система. § 14.5. Принцип наименьшего принуждения в теории удара. § 14.6. Катастатическая система. Теорема о суперпозиции. § 14.7. Катастатическая система. Шесть теорем об энергии. § 14.8. Лагранжевы координаты и квазикоординаты. § 14.9. Лагранжева форма уравнений движения в теории удара. § 14.10. Другие доказательства теорем об энергии. § 14.11. Приложения теории удара. § 14.12. Импульсивное движение непрерывных систем. Глава XV. ШЕСТАЯ ФОРМА ОСНОВНОГО УРАВНЕНИЯ § 15.1. Шестая форма основного уравнения. § 15.2. Непосредственные выводы. § 15.3. Функция Рауса. § 15.4. Теорема ... § 15.5. Главная функция. § 15.6. Примеры использования главной функции. § 15.7. Доказательство равенства ... § 15.8. Свойства главной функции. § 15.9. Примеры непосредственного вычисления главной функции. Глава XVI. ТЕОРЕМА ГАМИЛЬТОНА—ЯКОБИ § 16.1. Уравнение Гамильтона в частных производных. § 16.2. Теорема Гамильтона — Якоби (доказательство первое). § 16.3. Теорема об эквивалентности. § 16.4. Теорема Гамильтона — Якоби (доказательство второе). § 16.5. Замечания по теореме Гамильтона — Якоби. § 16.6. Однородное поле. § 16.7. Гармонический осциллятор. § 16.8 Частица в переменном поле At. § 16.9. Центральная орбита. § 16.10. Сферический маятник. § 16.11. Вращающийся волчок. § 16.12. Стержень на вращающейся плоскости. § 16.13. Электрон в центральном поле. § 16.14. Пфаффова форма Глава XVII. СИСТЕМЫ С ДВУМЯ СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ, ДОПУСКАЮЩИЕ РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ § 17.2. Условия разделимости переменных в системах с двумя степенями свободы. § 17.3. Изучение движения системы. § 17.4. Классификация траекторий. § 17.5. Устойчивость. § 17.6. Приложения теории. § 17.7. Притяжение к центру по закону ... § 17.8. Притяжение к центру по закону ... § 17.9. Ньютоновское притяжение и однородное поле. § 17.10. Два неподвижных притягивающих центра § 17.11. Ограниченные траектории. § 17.12. Уравнения орбит. § 17.13. Неограниченные орбиты. § 17.14. Системы, допускающие разделение переменных более чем одним способом. Глава XVIII. СИСТЕМЫ С n СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ, ДОПУСКАЮЩИЕ РАЗДЕЛЕНИЕ ПЕРЕМЕННЫХ § 18.1. Система Лиувилля § 18.2. Теорема Штеккеля. § 18.3. Исследование интегралов. § 18.4. Дополнительные замечания к теореме Штеккеля. § 18.5. Квазипериодические движения. § 18.6. Угловые переменные. § 18.7. Стандартный куб. § 18.8. Постоянные ... § 18.9. Соотношения между q и v. § 18.10. Малые колебания. § 18.11. Сферический маятник. § 18.12. Задача двух тел. § 18.13. Интерпретация параметров a и b. § 18.14. Выражение r как функции от t. § 18.15. Угловые переменные. § 18.16. Постоянные ... § 18.17. Возмущения. § 18.18. Неортогональные и ненатуральные разделимые системы. Глава XIX. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ, ДВИЖЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ОСОБОЙ ТОЧКИ § 19.2. Движение частицы по прямой. § 19.3. Система с одной степенью свободы. § 19.4. Движение в окрестности особой точки. Линейное приближение. § 19.5. Устойчивость равновесия. Асимптотическая устойчивость и неустойчивость. § 19.6. Движение в окрестности особой точки. Общая теория. § 19.7. Движение в окрестности узла. § 19.8. Движение в окрестности седловой точки. § 19.9. Движение в окрестности фокуса. § 19.10. Движение в окрестности центра. § 19.11. Связь линейного приближения с общей теорией. Глава XX. СИСТЕМЫ С ОДНОЙ СТЕПЕНЬЮ СВОБОДЫ. ЦИКЛИЧЕСКИЕ ХАРАКТЕРИСТИКИ § 20.2. Положительное предельное множество. § 20.3. Отрезок без контакта. § 20.4. Отрезок без контакта, проходящий через точку множества A. § 20.5. Структура множества A. § 20.6. Теорема Пуанкаре — Бендиксона. § 20.7. Приложение к системе частного вида. § 20.8. Существование предельного цикла. § 20.9. Уравнение Ван-дер-Поля. Глава XXI. СИСТЕМЫ С n СТЕПЕНЯМИ СВОБОДЫ. СВОЙСТВА ХАРАКТЕРИСТИК § 21.2. Преобразование к новым координатам. § 21.3. Оператор Tt § 21.4. Решение в форме степенных рядов. § 21.5. Формула для X(x)-X(a) § 21.6. Интегральные инварианты. § 21.7. Интегральные инварианты порядка m. § 21.8. Свойства множителей. § 21.9. Последний множитель Якоби. § 21.10. Линейная система. § 21.11. Устойчивость равновесия. § 21.12. Дискретная устойчивость. § 21.13. Устойчивость преобразований. § 21.14. Приложение к дифференциальным уравнениям. § 21.15. Теорема Пуанкаре — Ляпунова. § 21.16. Критический случай. Глава XXII. УРАВНЕНИЯ ГАМИЛЬТОНА § 22.1. Уравнения Гамильтона. § 22.2. Скобки Пуассона. § 22.3. Теорема Пуассона. § 22.4. Использование известного интеграла. § 22.5. Линейный интегральный инвариант Пуанкаре. § 22.6. Теорема Лиувилля. § 22.7. Теорема возвращения (теорема Пуанкаре). § 22.8. Примеры инвариантных областей. § 22.9. Эргодические теоремы. § 22.10. Конкретные примеры. § 22.11. Множество ... § 22.12. Собственные отрезки. § 22.13. Доказательство эргодической теоремы; первый этап. § 22.14. Доказательство эргодической теоремы; второй этап. § 22.15. Метрическая неразложимость. § 22.16. Интегралы уравнений движения. § 22.17. Следствие теоремы Лиувилля. § 22.18. Последний множитель. Глава XXIII. ДВИЖЕНИЕ В ОКРЕСТНОСТИ ЗАДАННОГО ДВИЖЕНИЯ. УСТОЙЧИВОСТЬ ДВИЖЕНИЯ § 23.2. Решение уравнений в вариациях. § 23.3. Случай постоянных коэффициентов. § 23.4. Случай периодических коэффициентов. § 23.5. Нулевые показатели. § 23.6. Уравнения в вариациях для системы Гамильтона. § 23.7. Устойчивость траекторий (1). § 23.8. Устойчивость траекторий (2). § 23.9. Устойчивость периодических орбит. § 23.10. Вынужденные колебания. Глава XXIV. КОНТАКТНЫЕ ПРЕОБРАЗОВАНИЯ § 24.1. Контактные преобразования. § 24.2. Формулы контактного преобразования. § 24.3. Другие формулы. § 24.4. Обобщенное точечное преобразование и другие однородные контактные преобразования. § 24.5. Специальная форма уравнений преобразований. Бесконечно малые контактные преобразования. § 24.6. Обобщение теоремы Лиувилля. § 24.7. Условия контактности преобразования, скобки Лагранжа. § 24.8. Соотношения между двумя системами производных. § 24.9. Условия контактности преобразования, выраженные с помощью скобок Пуассона. § 24.10. Соотношения между скобками Лагранжа и скобками Пуассона. § 24.11. Приложение к контактному преобразованию. § 24.12. Инвариантность скобки Пуассона. § 24.13. Другая форма условий контактности преобразования. § 24.14. Функции, находящиеся в инволюции. § 24.15. Некоторые примеры. Глава XXV. ТЕОРИЯ ПРЕОБРАЗОВАНИЙ § 25.1. Уравнения движения после контактных преобразований. § 25.2. Вариация элементов траектории. § 25.3. Вариация эллиптических элементов. § 25.4. Другие доказательства теоремы Якоби. § 25.5. Постоянство скобок Лагранжа. § 25.6. Бесконечно малые контактные преобразования. § 25.7. Интегралы в инволюции. § 25.8. Теорема Ли о системах в инволюции. § 25.9. Интегралы, линейные относительно импульсов. § 25.10. Случай, когда функция Гамильтона является однородной квадратичной формой Глава XXVI. ВАРИАЦИОННЫЕ ПРИНЦИПЫ § 26.2. Теорема Ливенса. § 26.3. Точки минимума и седловые точки. § 26.4. Асинхронное варьирование. Принцип Гёльдера. § 26.5. Принцип Фосса. § 26.6. Обобщение принципа Гамильтона. § 26.7. Замена независимой переменной. § 26.8. Нормальная форма системы с двумя степенями свободы. § 26.9. Система Лиувилля. § 26.10. Конформные преобразования. Глава XXVII. ПРИНЦИП НАИМЕНЬШЕГО ДЕЙСТВИЯ § 27.3. Принцип наименьшего действия в форме Якоби. § 27.4. Теорема Уиттекера. § 27.5. Исключение координат. § 27.6. Характеристическая функция. § 27.7. Пространство конфигураций. § 27.8. Система с двумя степенями свободы. § 27.9. Теорема Кельвина. § 27.10. Однородное поле. § 27.11. Задача Тэта. Непосредственное решение. § 27.12. Задача Тэта. Теория огибающих. Глава XXVIII. ОГРАНИЧЕННАЯ ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ § 28.2. Ограниченная задача. Уравнения движения. § 28.3. Положения равновесия. § 28.4. Положения равновесия на прямой АВ. § 28.5. Положения равновесия, не лежащие на прямой АВ § 28.6. Поверхность z=U. § 28.7. Движение вблизи положения равновесия. § 28.8. Теория движения Луны. Глава XXIX. ЗАДАЧА ТРЕХ ТЕЛ § 29.2. Случай, когда вектор момента количеств движения равен нулю. § 29.3. Три точки Лагранжа. § 29.4. Решения, для которых треугольник Лагранжа сохраняет свою форму. § 29.5. Случай плоского движения. § 29.6. Координаты относительно частицы Az § 29.7. Движение в окрестности равновесного решения. § 29.8. Сведение к системе шести уравнений. § 29.9. Устойчивость трех точек Лагранжа. § 29.10. Преобразованная форма уравнений движения. § 29.11. Другой подход к задаче трех точек Лагранжа. § 29.12. Сведение к системе восьми уравнений. § 29.13. Невозможность тройных столкновений. § 29.14. Плоское движение. Другой способ приведения к системе шестого порядка. § 29.15. Равновесные решения. Глава XXX. ПЕРИОДИЧЕСКИЕ ОРБИТЫ § 30.1. Периодические орбиты. § 30.3. Условия вещественности. § 30.4. Уравнения Гамильтона. § 30.5. Сходимость. § 30.6. Три точки Лагранжа. § 30.7. Системы, содержащие параметр. § 30.8. Приложение к ограниченной задаче трех тел. § 30.9. Метод неподвижной точки. § 30.11. Периодические орбиты и теорема о кольце. § 30.12. Доказательство теоремы Пуанкаре о кольце. |
