§ 9.7. Колебания в окрестности установившегося движения.

Если установившееся движение устойчиво, так что вызываемое малыми возмущениями отклонение от установившегося движения остается все время малым, то можно получить приближение к возмущенному движению, положив в

уравнениях движения

(через обозначено постоянное значение в установившемся движении) и сохранив в них лишь члены первого порядка относительно

В качестве примера найдем первое приближение к возмущенному движению в трех классических задачах, рассмотренных в § 9.6. Напомним, что, строго говоря, теория относится к возмущению, при котором сохраняют те же значения, которые они имели в первоначальном установившемся движении. Однако практически это ограничение несущественно, так как малые изменения этих постоянных означают лишь переход к колебаниям около соседнего состояния установившегося движения.

Пример 9.7А. Центральное поле возмущение круговой орбиты. Частица движется по окружности радиуса со скоростью и под действием притяжения к центру с силой где Найдем движение, вызванное малой радиальной скоростью направленной наружу и сообщенной в момент Имеем

Исключая 9, находим

Полагая и сохраняя в разложении лишь члены первого порядка относительно получаем

где

Отсюда находим

Значение в некоторый момент t определяется из формулы

Далее, пренебрегая членами порядка имеем

где обозначает угловую скорость установившегося движения. Мы приняли, что при Приближенное уравнение возмущенной орбиты записывается в виде

Апсидальные расстояния равны а апсидальный угол равен В двух хорошо известных случаях, эта формула апсидального угла является точной.

Пример 9.7В. Сферический маятник; колебания в окрестности конического движения. Если угол отсчитывать от вертикали, направленной вниз, то функции для сферического маятника будут иметь следующий вид:

где Первоначально груз маятника двигался по горизонтальной окружности Предположим, что в момент груз получил малый импульс, направленный наружу и лежащий в меридиональной плоскости, так что в начальный момент имело малое значение Из уравнений Лагранжа находим

Исключая получаем

Полагая и сохраняя в разложении лишь члены первого порядка относительно находим

где

Следовательно,

Экстремальные значения равны Если в момент считать то будем иметь

Траектория груза на сфере будет описываться уравнением

где

Пример 9.7С. Нутация волчка. Уравнения, описывающие движение оси волчка, имеют вид (см. § 8.6)

Мы предполагаем, что Первоначально ось волчка имела установившуюся прецессию, при которой где

один из корней квадратного уравнения

Рассмотрим возмущение, при котором и X остаются неизменными. В момент примем где малая величина. Полагая в уравнении получаем с точностью до членов первого порядка относительно

так что остается постоянным во все время движения. Вычисляя линейное приближение для уравнения (9.7.19), замечаем, что выражение в скобках имеет первый порядок малости в силу (9.7.21), поэтому множитель можно заменить на после чего легко находим приближенное уравнение:

Исключая с помощью (9.7.22), находим

где

Если скорость вращения волчка очень велика, то х имеет порядок . С принятой точностью приближения период нутации (т. е. колебания около установившегося прецессионного движения) равен Зависимость от имеет вид

и, таким образом, угол наклона оси волчка к направленной вверх вертикали изменяется в пределах