§ 9.10. Вынужденные колебания.

В §§ 9.1-9.3 мы изучали свободные колебания около положения устойчивого равновесия. Теперь мы рассмотрим вынужденные колебания, возникающие тогда, когда на систему дехгствуют силы, периодически изменяющиеся с течением времени.

Рассмотрим гармонический осциллятор, на который действует внешняя сила, пропорциональная Уравнение движения такого осциллятора запишется в форме

Если то решение этого уравнения имеет вид

Здесь через обозначены соответственно значения лих при Первый член решения выражает вынужденное колебание с периодом а остальные члены — свободные колебания с периодом Если имеет значение, близкое к то явление, при котором амплитуда вынужденных колебаний становится большой по сравнению с амплитудой с внешней силы, называется резонансом. Иногда этот термин употребляют лишь в том случае, когда точно равняется В последнем случае решение имеет вид,

и вынужденное колебание можно трактовать как синусоидальное колебание с периодом и амплитудой, непрерывно возрастающей вместе с t.

Практически, однако, уравнение (9.10.1) всегда является приближенным, справедливым лишь для малых значений х, и найденное нами решение нельзя считать достоверным в случае резонанса, когда амплитуда вынужденных колебаний велика. Это обстоятельство особенно следует иметь в виду тогда, когда рассматривается резонанс при поскольку в этом случае амплитуда возрастает со временем неограниченно.

Кроме того, на системы практически всегда действуют какие-либо силы трения. Влияние трения проявляется в том, что свободные колебания в конце концов затухают и остаются только вынужденные колебания. Рассмотрим гармонический осциллятор, на который кроме внешней периодической силы действует сила трения, пропорциональная первой степени скорости. Уравнение движения будет иметь вид

При этом предполагается, что Свободные колебания будут описываться членами вида где Их можно трактовать как синусоидальные колебания с периодом и амплитудой, пропорциональной множителю и потому быстро стремящейся к нулю. Свободные колебания скоро становятся пренебрежимо малыми («затухают»), и остаются вынужденные колебания с периодом описываемые уравнением

где Даже тогда, когда в задачах на колебание трение не входит явно в уравнения движения, важно найти и изучить периодические решения, имеющие период дополнительной силы. Это связано с тем, что даже при самом ничтожном трении свободные колебания в конце концов становятся пренебрежимо малыми.

С переходом от простого случая линейных колебаний к вынужденным колебаниям системы, описываемым нелинейными уравнениями, задача сильно усложняется. В § 23.10 мы рассмотрим одну из таких задач.