Численный пример

39. Природа такой неустойчивости хорошо иллюстрируется примером в табл. 5, в котором для простоты мы положили и с почти ортогональными. (Мы можем избежать срыва на первом шаге на практике, положив с. Вычисления проведены с высокой точностью, так что все данные

величины точны во всех знаках. Мы выбрали равными единице для того, чтобы проиллюстрировать наше утверждение. При этом равны.

Заметим, что если мы обозначим через то будут порядка и почти равны и противоположны по знаку, а порядка При помощи довольно скучного анализа можно показать, что, вообще говоря, если то порядка порядка порядка (Последний результат не виден из примера в табл. 5, так как для этого нужны значения 8, значительно меньшие Рост, вызванный малостью затем прекращается, если только некоторые из последующих не малы, но это будет, конечно, независимым событием.

Непосредственно можно видеть, почему значение величины порядка вызывает эффект, указанный в (38.7). Предположим, например, что мы имеем дело только с матрицей второго порядка, и для получены правильно округленные точные значения. Вычисленная матрица может быть тогда представлена в виде

где значения, соответствующие точным вычислениям. Характеристический полином матрицы из (39.1) равен

Следовательно, ошибка в постоянном члене равна

и мы видели, что порядка порядка Нет никаких причин для того, чтобы члены в (39.3) взаимно уничтожились, и, вообще говоря, этого не происходит. Этот пример показал, что трудности возникают не из-за накопления ошибок предыдущих шагов.

Если бы мы использовали обычные нормирующие множители в примере в табл. 5, то вместо матрицы мы бы получили матрицу однако все, наши выводы не зависят от этого. «Убыток» все равно пропорционален а не

Таблица 5 (см. скан)

Процесс Ланцоша проводился для той же матрицы с использованием начальных векторов

с различными значениями причем использовались вычисления с двойной точностью (60 двоичных знаков). С возрастанием собственные значения вычисленных все дальше отдалялись от собственных значений А, и при они не имели ни одной общей значащей цифры, что подтверждает наш анализ. Порядки величин изменялись так, как описано ранее в этом параграфе.