Общие замечания об устойчивости

55. Мы нашли, что при переходе к канонической форме Фробениуса часто имеет место значительное ухудшение чисел обусловленности. В самом деле все полные матрицы с одинаковой системой собственных значений, независимо от их обусловленности, имеют одинаковую форму Фробениуса. Рассмотрим, например, симметричную трехдиагональную матрицу из гл. 5, § 45. Проблема собственных значений и собственных векторов для нее хорошо обусловлена, так как она симметрична, и ее собственные значения хорошо отделены. Тем не менее, как мы увидим в главе 7, соответствующая ей форма Фробениуса очень плохо обусловлена.

Мы описали приведение матрицы общего вида А к форме Фробениуса в две стадии.

Стадия 1, А приводится к верхней форме Хессенберга при помощи устойчивых элементарных преобразований.

Стадия приводится к форме Фробениуса при помощи неустойчивых элементарных преобразований.

Изучение устойчивости на этих двух стадиях очень различно. На практике мы обычно должны работать с большей точностью на второй стадии, чтобы ошибки, получающиеся в результате этой стадии, были столь же малы, как и на первой стадии.

В методе Данилевского (1937) эти две стадии скомбинированы. Этот метод состоит из шага. Во время вводятся нули в позициях столбца при помощи преобразования подобия с матрицей типа (гл. 1, § 40). При помощи перестановок возможно обеспечить, чтобы величины были ограничены единицей, чего нельзя сделать с остальными При обычном описании метода Данилевского не обращают внимания на различия в численной устойчивости двух половин процесса.