5. Метод Эйткена построения итераций высших порядков.

Эйткен предложил способ получения из данной итерации или из двух данных итераций одного и того же порядка итерации более высокого порядка.

Пусть имеются итерации

порядка сходящиеся к . С помощью функций построим фунцию

Тогда итерация

имеет порядок выше если только выполнено условие

Для доказательства этого утверждения заметим, что последовательность сходится к и получается при решении уравнения

методом итераций, так как

При члены последовательности а представляют отклонения от точного значения корня а и получаются применением метода итераций к уравнению

Так как определяет итерацию порядка то имеет место разложение

Далее,

Подставляя разложения (68) в (69), получим:

При наименьшая степень в числителе а в знаменателе 1, следовательно, разложение а по степеням начинается т. е. при что означает, что итерация (64) имеет порядок не ниже При наименьшая степень в числителе не меньше трех, так как члены со вторыми степенями взаимно уничтожаются, а в знаменателе входит с коэффициентом

Если это произведение не равно нулю, то первая степень в разложении знаменателя присутствует и разложение по

степеням начинается по крайней мере с Следовательно, и итерация (64) имеет порядок не меньше двух.

В частности, можно положить тогда

определяет итерацию не ниже второго порядка, если определяет итерацию первого, и не ниже порядка, если определяет итерацию порядка

Заметим, что если итерация, определяемая функцией не сходится, как бы близко к а мы ни выбирали начальное приближение (что, например, будет при итерация, определяемая функцией, построенной по формуле (70), будет сходящейся при выборе начального приближения, достаточно близкого к а, так как и существует окрестность в которой а это является достаточным условием сходимости итерации, если только взято из этой окрестности. При построении итерации

где определена равенством (70), нет необходимости в явном виде находить а можно поступать следующим образом. Исходя из находим:

Затем определяем с помощью соотношения

где положено

Далее, находим:

и

и т. д. Получим нестационарной итерационный процесс:

Точно так же как по строилась итерация более высокого порядка, можно, исходя из построить итерацию еще более высокого порядка и