4. Метод Чаплыгина приближенного решения линейных дифференциальных уравнений второго порядка.

На этом мы закончим рассмотрение метода Чаплыгина для уравнений первого порядка. Рассмотрим теперь некоторые факты, связанные с применением метода Чаплыгина к линейным уравнениям второго порядка. Будем рассматривать частное решение уравнения

удовлетворяющее начальным условиям Относительно коэффициентов уравнения будем предполагать, что непрерывные функции на некотором отрезке содержащем точку непрерывно дифференцируема на этом отрезке. Рассмотрим, кроме того, дважды непрерывно дифференцируемую на функцию удовлетворяющую при неравенству

и начальным условиям Применяя теорему Тейлора, будем иметь:

Так как то при достаточно малом имеет место неравенство Но в отличие от того, что мы имели раньше для уравнения первого порядка, мы уже не можем утверждать, что на всем отрезке, где выполнено условие (75). Так, рассмотрим уравнение

Частное решение его, удовлетворяющее начальным данным будет, очевидно, Если же взять уравнение

то решение его, удовлетворяющее условиям будет

что легко проверяется простыми вычислениями. Функция может принимать отрицательные значения при даже если всюду положительна. Возьмем, например, где а — некоторое положительное число. Тогда

Возьмем где фиксированное, как угодно малое число. При этом

При достаточно большом будет отрицательным, так как отрицательный член

будет преобладать над остальными. Геометрически дело здесь заключается в следующем. Синус, стоящий под знаком интеграла, меняет знак, причем положительный множитель при нем имеет относительно большие значения там, где синус отрицателен (рис. 23).

Рис. 23.

Исследуем теперь общий случай. Введем функцию Она будет удовлетворять неравенству

и начальным условиям Наряду с этим неравенством рассмотрим уравнение

и пусть некоторое его решение, положительное на некотором отрезке Умножим неравенство (78) на а уравнение (79) на и вычтем из первого второе. Получим:

Но

а

Поэтому неравенство (80) можно записать в виде

Интегрируя в пределах получим:

или

Поделив на получим:

а отсюда на основании теоремы Чаплыгина о дифференциальных неравенствах для уравнений первого порядка следует, что Таким образом, если нам удастся найти некоторое положительное решение уравнения (79), то на соответствующем отрезке

Пусть —решение уравнения (79), удовлетворяющее начальным условиям Может оказаться, что оно не пересечет нигде ось х на . В этом случае на всем отрезке Пусть теперь найдется такая точка где пересекает ось х. Покажем, что при этом найдется такая функция что для нее будет выполнено неравенство (78) и соответствующие начальные условия, но она становится отрицательной в некоторых точках отрезка где произвольно.

Рис. 24.

Для доказательства рассмотрим решение уравнения (79), удовлетворяющее начальным данным . В силу теоремы о разделении нулей решений линейного дифференциального уравнения второго порядка на найдется такая точка что Без уменьшения общности можно считать, что других нулей между нет, так как иначе мы могли бы взять за а ближайший слева от нуль и за ближайший слева от а нуль Графики показаны на рис. 24.

Обозначим через функцию

В силу наших предположений Для будем иметь:

Как и ранее, умножим (87) на а (88) на и произведем вычитание. Получим:

Интегрируя в предслях получим:

или

Подбирая в качестве функцию с такими же свойствами, что и в приведенном выше примере, мы сумеем достичь того, что

Таким образом, мы получили, что какова бы ни была функция удовлетворяющая неравенству (75) и начальным условиям на интервале всегда . С другой стороны, какое бы мы ни взяли, найдется такая функция для которой выполнены неравенство (75) и начальные условия

Точка называется порогом применимости теоремы Чаплыгина. Порог применимости можно находить и иначе. Для этого в уравнении (79) произведем замену

или

Такая замена законна и а непрерывна, если При этом

и уравнение (79) перейдет в

Если использовать для отыскания порога применимости теоремы Чаплыгина уравнение (96) вместо (79), то мы должны найти наибольший отрезок на котором существует непрерывное решение (96).

Так как уравнение Риккати, вообще говоря, в квадратурах не интегрируется, то применение метода Чаплыгина к линейным

уравнениям второго порядка встречает большие затруднения. Еще большие трудности возникают при использовании метода Чаплыгина для линейных уравнений высших порядков, для нелинейных уравнений высших порядков и систем уравнений. Поэтому этих вопросов мы здесь касаться не будем.