ПРИЛОЖЕНИЕ 5А

Пусть

является суммой N дискретных независимых одинаково распределенных случай величин. Семиинвариантная производящая функция моментов каждой случайной величины определяется с помощью распределения вероятности равенством

Предположим, что существует на открытом интервале действительных значений вокруг Если выборочные значения для ограничены, то ясно,

что это условие выполняется. Первые две производные задаются равенствами

Отметим, что являются соответственно средним значением и дисперсией

Пусть является семиинвариантной производящей функцией моментов суммы т. е.

Согласно (5.4.19) имеем

Для того чтобы оценить где определим новую сумму случайных величин, называемых перекошенными случайными величинами, распределения вероятностей которых связаны с но для которых среднее значение суммы равно А. Затем мы применим к этой сумме перекошенных случайных величин центральную предельную теорему.

Для любого заданного и открытого интервала, в котором существует определим скошенные случайные величины которые будут принимать те же самые значения, что и но с распределением вероятностен

Из и видно, что соответственно являются средним значением и дисперсией перекошенных случайных величин Отсюда следует, что положительна (за исключением тривиальных случайных величин, которые принимают одно-единственное значение с вероятностью 1). Таким образом, является строго возрастающей функцией. Из можно увидеть, что

является наименьшим значением, принимаемым и

является наибольшим значением.

Предположим теперь, что перекошенные случайные величины являются статистически независимыми, и определим перекошенную сумму следующим образом:

Среднее и дисперсия даются равенствами

Свяжем далее распределение вероятностей для которое будем обозначать через с распределением вероятностей первоначальной суммы. Вероятность любой заданной последовательности значений перекошенных случайных величин определяется равенством

Поэтому

где суммирование производится тем которые удовлетворяют условию Далее имеем

той же самой областью суммирования по Теперь получаем

Заметим, что перекошено по отношению к в том же самом смысле, как перекошено по отношению к

Если нужно найти для то выберем такое однозначно определяемое значение для которого

В силу того, что является возрастающей функцией, то удовлетворяющее должно быть больше, чем 0. Используя теперь получаем

Отметим, что суммирование в проводится, начиная со среднего значения и что экспоненциально убывающий множитель по существу обрывает сумму для больших Фактически, так как стандартное отклонение пропорционально и так как скорость экспоненциального убывания не зависит от то представляет интерес только в области, которая составляет малую долю стандартного отклонения при большом Здесь можно использовать центральную предельную теорему для оценки в той форме, которая чувствительна к малым изменениям Какую теорему следует применить, зависит от того, является решетчатой случайной величиной или нет. Решетчатая случайная величина является случайной величиной, у которой принимаемые значения могут быть выражены в виде а где заданные постоянные, а является целым числом, которое изменяется с изменением выборочных значений случайной величины. Например, значения 0, 1 и 2 могут приниматься решетчатой случайной величиной; значения также могут приниматься решетчатой случайной величиной. Значения 0,1 и не могут приниматься решетчатой случайной величиной. Шаг решетчатой случайной величины является наибольшим значением А, которое может быть использовано в приведенном выше определении. Если является решетчатой случайной величиной, то очевидно, также являются решетчатыми случайными величинами, имеющими тот же самый шаг. Если следовательно, а не являются решетчатыми, то

ведет себя существенно отличным образом; интервал между соседними принимаемыми значениями становится все меньше и меньше с ростом

Для решетчатого распределения с шагом соответствующая предельная теорема утверждает, что в точках решетки

где не зависит от выборочного значения и

Другими словами, приближенно равно расстоянию между точками решетки умноженному на плотность гауссовского распределения с тем же самым средним значением и дисперсией, что и у

Так как представляют интерес только значения очень близкие к среднему значению, то можно использовать неравенства чтобы получить из

Для того чтобы найти сумму в заменим вначале на Обозначим через расстояние между и первым значением, принимаемым которое входит в сумму. Будем иметь после этого

Аналогично можно умножить оба слагаемых для ошибки в на и провести суммирование по значениям Первая сумма стремится к нулю быстрее, чем при а второе выражение стремится к нулю как Объединяя в результате получаем

где стремится к нулю при быстрее, чем Используя совместно с получаем окончательный результат для решетчатых случайных величин

Равенство справедливо при всех но, как можно заметить, рассматривая второе слагаемое для ошибки в схочимость по становится

медленнее, когда принимает значения, более близкие к нулю. Заметим, что для заданного значение изменяется с но всегда, конечно, лежит в пределах

Оценим теперь в нерешетчатом случае. Сумма в может быть «проинтегрирована по частям», что даст

где

— функция распределения Теперь пусть является нормированной случайной величиной, соответствующей и пусть будет функцией распределения и. Правая часть может быть записана в виде

Соответствующая этому случаю центральная предельная теорема утверждает, что

где

и стремится к нулю при равномерно по и а быстрее, чем

Используя неравенства будем иметь при

Подстановка дает

Аппроксимируя с помощью будем иметь

Умножая каждое слагаемое ошибки в на и интегрируя, замечаем, что каждый интеграл стремится к нулю быстрее, чем при что дает

Вспоминая, что эти выражения равны левой части можно подставить этот результат в и получить