§ 346. Свойства эволюты плоской линии

Свойство 1. Нормаль линии касается ее эволюты в соответствующем центре кривизны.

Пример 1. Нормаль циклоиды (см. рис. 384) касается циклоиды в центре кривизны первой циклоиды.

Пояснение. На нормалях линии (рис. 385) возьмем центры кривизныр, Пусть точка неподвижна, а к ней стремится. Тогда точка описывает дугу эволюты V и стремится к Точка а, где неподвижная нормаль пересекается с подвижной, тоже стремится к (в силу определения центра кривизны). В треугольнике угол меньше внешнего угла и потому он бесконечно мал. Значит, секущая стремится к совпадению с т. е. касательная к эволюте; точка касания — центр кривизны соответствующий точке

Свойство 2. Пусть радиус кривизны линии возрастает при движении от точки к точке (см. рис. 385). Тогда длина дуги эволюты равна приращению радиуса кривизны линии

Рис. 385

Пример 2. У циклоиды L (см. рис. 384) радиус кривизны в точке О равен нулю; он возрастает на дуге и в точке равен пример 1). По свойству 2, длина дуги циклоиды V равна пример 2).

Пояснение. Разобьем дугу эволюты V на части их число будет потом стремиться к бесконечности. Положим, что все дуги одинакового порядка малости. Того же порядка будут соответствующие дуги линии Разности же будут высшего порядка. Так как

и аналогично для ломаных то периметр ломаной отличается от величины

на бесконечно малую величину (получающуюся от накопления бесконечно малых высшего порядка).

Значит, длина дуги эволюты, являющаяся пределом длины описанной ломаной, равна

Замечание. Если между концами дуги линии есть точки с экстремальным радиусом кривизны, то свойство 2 нарушается. Так, в точках (см. рис. 384) циклоиды радиусы кривизны одинаковы, тогда как длина дуги конечно, не равна нулю. Свойство 2 нарушено потому, что в точке радиус кривизны имеет максимум. Дуга равна дуга тоже равна (а не ).