§ 4. Построение гомотетичных фигур

Построение фигуры, гомотетичной данной, в простейших случаях сводится, как увидим ниже, к построению точек, гомотетичных данным. Поэтому выясним сначала, как может быть построена точка, гомотетичная данной, при различных способах задания гомотетии.

1-й случай. Гомотетия задана центром 5 и парой соответственных точек (причём точки расположены на одной прямой, а в остальном могут быть заданы произвольно).

Пусть произвольная точка плоскости, не лежащая на прямой Проведём через точку А прямую, параллельную и пусть точка её пересечения с прямой (рис. 124). Тогда и является образом точки в данной гомотетии.

Если точка лежит на прямой то сначала выберем произвольную точку вне прямой и построим гомотетичную ей точку После этого, используя пару гомотетичных точек строим искомую точку описанным выше способом.

2-й случай гомотетия задана двумя парами соответственных точек. Пусть заданы точки и соответственные им точки (рис. 124). При этом прямые и должны быть параллельными, если исключить случай, когда все эти четыре точки располагаются на одной прямой

Рис. 124.

Кроме того, эти отрезки должны быть неравными или же равными, но противоположно направленными. При этих условиях легко определить центр гомотетии как точку пересечения прямых и а затем поступать, как в первом случае.

3-й случай. Гомотетия задана центром и коэффициентом. Пусть при этом коэффициент гомотетии задан как отношение данных отрезков тип, т. е.

Рис. 125.

Покажем, что этот случай легко сводится к первому. Проведём из точки 5 произвольный луч (рис. 125) и отложим на нём отрезки Ясно, что точки являются соответственными в данной гомотетии, так что мы пришли к случаю первому.

На рисунке 125 показано построение точки гомотетичной точке

Если коэффициент гомотетии задан как отношение двух натуральных чисел, например где натуральные числа, то выбираем произвольный отрезок d и строим два отрезка Отсюда и задача свелась к ранее рассмотренному случаю.

Пусть теперь требуется построить отрезок, гомотетичный данному отрезку относительно центра 5, если коэффициент , где данные отрезки.

Отложим на произвольном луче, исходящем из точки отрезки Ясно, что точка А будет гомотетичной точке А в рассматриваемой гомотетии.

Строим затем точки гомотетичные точкам (рис. 126). Отрезок искомый.

Если точки не лежат на одной прямой с точкой 5, то можно сначала ранее указанным способом построить точку гомотетичную точке а затем провести через прямую, параллельную Пусть точка её пересечения с прямой Отрезок искомый.

Построение многоугольника (треугольника, четырёхугольника и т. д.), гомотетичного данному, сводится к предыдущему построению.

На рисунке 127 показано построение треугольника, соответствующего треугольнику в гомотетии Здесь

Рис. 126.

Рис. 127.

Рис. 128.

На рисунке 128 показано построение треугольника, соответствующего треугольнику в гомотетии с центром в вершине и коэффициентом — Здесь

Приведём ещё пример. Пусть данная трапеция, -данная точка на прямой

Из рисунка 129 ясно построение трапеции гомотетичной трапеции относительно центра и коэффициента

Рис. 129.

Здесь

Для построения окружности, соответствующей данной окружности в некоторой гомотетии, достаточно построить точки, соответственно гомотетичные центру данной окружности и точке на ней. Построение ясно из рисунка 130.

Рис. 130.

Здесь — центр гомотетии, а коэффициент гомотетии равен где данные отрезки. -произвольная точка на окружности (вне прямой