Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
§ 5. Построения с недоступными точкамиОбщая теория геометрических построений с помощью Циркуля и линейки развивается обычно в предположении, что любые две точки плоскости можно соединить прямой, что можно провести окружность, центр которой находится в любой точке и радиус которой имеет любые размеры, Что может быть построена и в дальнейшем использована точка, в которой пересекаются две построенные линии. В практических условиях эти предположения могут и не выполняться. В частности, этому могут препятствовать размеры чертежа, в силу чего некоторые элементы данных или искомых фигур могут оказаться за его пределами, как это в действительности нередко случается в чертёжной практике. При измерениях и построениях на местности не во всякую точку можно поместить геодезический инструмент и не всякий прямолинейный путь доступен для прохождения. В связи с этим обстоятельством возникла и развилась математическая теория геометрических построений с недоступными элементами. Простейшие задачи на построения с недоступными элементами рассматривал ещё Ламберт в книге "Свободная перспектива" (1774). Появление недоступных элементов существенно изменяет ход геометрических построений и обычно усложняет их. Однако можно доказать элементарными методами, что появление на плоскости нескольких недоступных точек не может перевести геометрическую задачу на построение циркулем и линейкой из класса разрешимых в класс неразрешимых. Основы такого доказательства изложены в [3]. Мы не ставим себе задачу дать полный очерк теории геометрических построений с недоступными элементами. Такая теория могла бы быть развита наиболее естественным образом на базе основных теорем проективной геометрии (свойства полного четырёхвершинника, теорема Дезарга, теорема Паппа — Паскаля, свойства поляр и др.). Ограничимся некоторыми разъяснениями и примерами. Будем называть точку недоступной, если к ней нельзя применить аксиомы конструктивной геометрии, в частности аксиомы линейки или циркуля. Фигура считается недоступной, если все её точки недоступны. Недоступная точка считается известной, если построены отрезки двух прямых, пересекающихся в этой точке. На рисунке 234 точка Рассмотрим некоторые элементарные геометрические задачи на построение с недоступными точками. Задача 1. Через данную точку данные прямые
Рис. 234.
Рис. 235. Тогда прямая Задача 2. Разделить в данном отношении Проведём какой-либо луч
Рис. 236. Построение это можно провести и в том случае, когда оба конца данного отрезка Задача 3. Даны три точки тип, чтобы отношение Пусть С — произвольная точка на прямой с, проходящей через недоступную точку С (рис. 237). Проводим
Рис. 237.
Рис. 238. Задача Построим прямую Пусть
Рис. 239. К этой задаче легко сводится задача о проведении через данную точку перпендикуляра к прямой, проходящей через две известные недоступные точки. Задача 5. Разделить пополам угол Пусть прямой а. Из точки Задача 6. На данной прямой а отложить от известной недоступной её Пусть
Рис. 240. Строим прямую Комбинируя рассмотренные примеры, можно решить большое количество задач на построение с недоступными элементами. В качестве общего приёма решения задач на построение с недоступными точками можно пользоваться геометрическими преобразованиями. Если данное преобразование не переводит данную недоступную точку в себя, то её образ вообще говоря, доступен. Поэтому после преобразования задача решается обычными методами. После того как получено соответствующее решение, остаётся применить обратное преобразование, чтобы получить решение для первоначального расположения фигуры. Пример 1. Применим метод симметрии. Пусть Строим прямые
Рис. 241.
Рис. 242. Иногда надобность в обратном преобразовании отпадает, как это видно из следующего примера. Пример 2. Через данную недоступную точку Произведём параллельный перенос данной фигуры на некоторый вектор V, коллинеарный прямой Так как в чертёжной практике всегда приходится иметь дело не со всей плоскостью, а лишь с ограниченной её областью (чертёжный лист), то здесь нередко возникают задачи о "построениях на ограниченном куске плоскости", когда всю остальную часть плоскости приходится рассматривать как недоступную. В этих случаях особенно полезным оказывается преобразование гомотетии, так как оно позволяет "сжать" весь чертёж в произвольном отношении. При соответствующем выборе центра и коэффициента гомотетии можно добиться, чтобы после такого преобразования все, как угодно далёкие, недоступные точки плоскости преобразовались в точки, расположенные в пределах данного куска плоскости.
|
1 |
Оглавление
|