Главная > Физика > Феймановские лекции по гравитации
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

3.5. Лагранжиан для гравитационного поля

Теперь мы будем изучать нашу теорию на языке лагранжиана, исследуя сами поля, а не просто амплитуды. Сначала вновь рассмотрим ситуацию в электродинамике. Здесь действие есть

Именно из такого лагранжиана мы в конце концов выводим полевые уравнения; мы хотим получить гравитационный аналог соотношения .

Нетрудно сделать предположение о форме второго члена, описывающего взаимодействие. Мы предполагаем, что этот член равен . Здесь аналогия для членов, в которые вовлечены производные, не так очевидна; просто имеется слишком много индексов, которые могут быть переставлены слишком большим числом способов. Мы будем должны написать общую форму для лагранжиана, как сумму по всем возможным способам записи полевых производных, подставляя произвольные коэффициенты перед каждым членом, т.е. записывая его следующим образом:

(3.5.2)

Наша теория не будет полна до тех пор, пока мы не придумаем некоторый критерий для определения значений коэффициентов .

Возможно мы можем сделать предположение по некоторой аналогии с электромагнетизмом. Если мы вычисляем вариацию общего лагранжиана (3.5.1) по отношению к А, мы получаем дифференциальное уравнение, связывающее поля и ток

(3.5.3)

Для экономии записи далее мы будем показывать такие дифференцирования (градиенты), просто указывая индексы координат после запятой; уравнение, которое приведено выше, имеет следующий вид:

(3.5.4)

Закон сохранения заряда выражается вычислением дивергенции равной нулю. Но мы можем заметить, что уравнения Максвелла для этого поля несогласованы, за исключением закона сохранения заряда, и что градиент от выражения в левой части соотношения (3.5.4) тождественно равен нулю. С использованием правильного лагранжиана электромагнитного поля, закон сохранения заряда может быть выведен как следствие полевых уравнений. Так как левая часть уравнения (3.5.4) удовлетворяет этому тождеству, его дивергенция также равна нулю:

(3.5.5)

Подобное условие используется для того, чтобы определить величину коэффициентов относительно друг друга. Мы будем выписывать общий лагранжиан, выводить дифференциальные полевые уравнения путем вариации лагранжиана и требовать, что, так как дивергенция тензора Т обращается в нуль, полевые величины, которые равны этому тензору, должны иметь дивергенцию, которая равна нулю тождественно. Это условие будет влиять на однозначный выбор значений коэффициентов. Мы проведем ниже алгебраические вычисления подробно, устанавливая значения коэффициентов таким образом, что полевые уравнения согласованы, если только

(3.5.6)

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление