Главная > Разное > Лекции по термодинамике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 40. Обобщенные силы

Обобщенные силы, по предыдущему, представляют собой производные от свободной энергии по параметрам взятые с обратным знаком. Этот вывод имеет многочисленные приложения. Пусть мы хотим, например, составить уравнения равновесия упругого тела. Для этой цели мысленно выделим в упругом теле некоторый прямоугольный параллелепипед и рассмотрим напряжения, действующие на его грани, и некоторые величины а, определяющие деформацию, т. е. изменение линейных размеров и изменение углов. Свободная энергия, представленная как функция параметров а, для малых деформаций может быть разложена в ряд по возрастающим степеням а. Дифференцируя полученный ряд, мы определим напряжения. Из тщательно проведенных исследований видно, что вполне достаточно ограничиться в ряде для Ф членами второго порядка. Если за нормальное состояние тела принять его недеформированное состояние, то пропадет член ряда, не зависящий от параметров. Поскольку в нормальном состоянии никаких напряжений нет, то обратятся в нуль и члены с первой степенью а, так что Ф можно считать однородной квадратичной формой от деформаций. Представим себе, например, растянутый и в то же время закрученный стержень. Обозначим через удлинение, а через — угол кручения. При заданном , стержень обладает одинаковыми внутренней энергией и энтропией, а следовательно, и свободной энергией, независимо от того, закручен ли он на данный угол вправо или влево; поэтому Ф не содержит нечетных степеней . Итак,

Производная физически представляет собой работу, необходимую для растяжения стержня на единицу длины, т. е. растягивающую силу — работу, затраченную действующей на стержень парой для закручивания его на угол в 1 радиан, т. е. момент пары . Если заменить на , то .

Замечательно то обстоятельство, что и и являются обе производными одной и той же функции, именно, функции . Математически это выражается равенством Сила, необходимая для удлинения стержня на некоторую величину, зависит, таким образом, от угла кручения, и обратно, вращающий момент 1) зависит от длины стержня. Отсюда можно заключить, что кручение стержня вызовет его укорачивание, ибо при Р = 0 внешние растягивающие силы отсутствуют, и, по уравнению (51), если пренебречь по сравнению с , имеем . Разумеется, рассмотренные здесь эффекты весьма малы.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление