Главная > Разное > Лекции по термодинамике
<< Предыдущий параграф
Следующий параграф >>
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Макеты страниц

§ 43. Газ или жидкость в поле силы тяжести

Рассмотрим некоторое физическое тело, состоящее из одного и того же вещества в жидком или газообразном состоянии, нанимающее постоянный объем и имеющее постоянную температуру.

Пусть на тело действуют консервативные силы, например, сила тяжести. Тогда единица массы этого тела будет обладать потенциальной энергией функцией параметров, определяющих элемент объема . Если — свободная энергия единицы массы, — плотность, то сумма свободной и потенциальной энергии для элемента объема равна , а всего тела:

Состояние равновесия будет иметь место, когда величина Ф принимает минимальное значение; чтобы найти это состояние, т. е. определить в этом случае распределение вещества в пространстве, рассмотрим бесконечно малое изменение состояния, для которого

Для заданного элемента объема постоянно, но получает приращение что ведет к изменению , так как Ф зависит от объема v единицы массы, a . При постоянном Т имеем поэтому

Условие равновесия принимает вид

Равенство это справедливо для всех значений , удовлетворяющих уравнению

выражающему собой постоянство массы всей системы,

Отсюда следует, что множитель у в интеграле (53) должен быть постоянным, т. е.

Остается лишь определить постоянную С. Это возможно, если известна свободная энергия как функция или v; действительно, разрешаем уравнение (55) относительно и находим отсюда как функцию координат (так как также зависит от координат). Подставив выражение для в уравнение (54), получим уравнение относительно С, ибо масса М дана.

Так как то уравнение (55) запишется в виде

или, согласно уравнению (45),

т. е.

Полученное уравнение совпадает с общеизвестными условиями статического равновесия. Чтобы в этом убедиться, заметим, что (или ) зависят от координат х, у, Z. Дифференцируя поэтому равенство (55 а) по и считая при этом С постоянной, получим

умножая на и принимая во внимание (45):

Аналогичные уравнения получаются для у и z. Так как - компоненты внешних сил, действующих на единицу массы, то эти уравнения служат условиями равновесия между силами, действующими на элемент объема.

Для идеального газа постоянно. Уравнение (55b) приводит тогда к тому простому результату, что в состоянии равновесия сумма свободной и потенциальной энергий идеального газа во всех элементах объема одна и та же по всему объему. Потенциальная энергия газового столба в поле силы тяжести с высотой возрастает, но это приращение уравновешивается соответствующим уменьшением свободной энергии; свободная энергия зависит от плотности, а плотность с высотой убывает.

<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Оглавление