15.4.2. ИНТЕРВАЛЬНОЕ ОЦЕНИВАНИЕ

Ясно, что при любом выборе вида точечной оценки выводы, которые можно сделать на ее основе относительно апостериорной плотности будут «бедными». Промежуточным вариантом между сложным законченным описанием функции плотности и предельно упрощенной точечной оценкой может служить идея правдоподобного интервала (credible interval).

Задавая функцию апостериорной плотности мы получаем возможность выделить два значения такие, что апостериорная вероятность попадания в интервал значений а и b принимает некоторое определенное значение (например, 90, 95, 99% или любое другое, приемлемое в исследуемой проблеме). Более точно об этом можно сказать так: при заданной интервал называется апостериорным правдоподобным интервалом для в уровня если

[ср. с определением 4.1.1]. Когда для а используются значения 0,1, 0,05 или 0,01, имеются в виду правдоподобные интервалы для в уровня 90, 95 или 99%. На рис. 15.4.1 иллюстрируется эта идея в общем виде.

Рис. 15.4.2. Два различных правдоподобных интервала уровня

Легко увидеть, что правдоподобный интервал формально напоминает вероятностный интервал, задаваемый определением 4.1.1, когда вероятностный интервал определяется по апостериорному распределению

В общем случае можно найти много пар значений которые обусловливают правдоподобный интервал уровня для заданного значения а. Все это легко увидеть на рис. 15.4.1, представляя мысленно, что точка смещается вправо от изображенного положения. Тогда заштрихованная область будет накрывать значение параметра в с вероятностью, большей чем . Эта область может быть уменьшена (при сохранении уровня доверия 1—а) путем соответствующего смещения интервала вправо. Независимо от того, какой конкретный интервал выбран, правдоподобный интервал будет интерпретироваться в терминах апостериорных представлений относительно в при заданных х как уверенность на в том, что в лежит в интервале

Если затем рассмотреть обстоятельство, что при любом частном варианте выбора а можно задать много различных правдоподобных интервалов, то станет очевидным, что пока предложенное понятие правдоподобного интервала не вполне удовлетворительно. Например, оба интервала на рис. 15.4.2 являются апостериорными правдоподобными интервалами для в уровня но с точки зрения информации, содержащейся в них относительно в, очевидна предпочтительность так как в этом случае при заданном а можно сделать более определенный вывод. Это наблюдение дает основание для уточненного понятия правдоподобного интервала. Считают, что интервал

есть интервал наивысшей апостериорной плотности (вероятности) уровня если: правдоподобный интервал уровня для всех .

Дополнительное условие 2 требует, чтобы не существовало значения , заключенного в интервале ордината которого (т. е. значение апостериорной плотности) оказалась бы ниже ординаты в каком-либо значении , не включенном в интервал Ясно, что это определение позволяет получить самый короткий из возможных правдоподобных интервалов при заданном а и, следовательно, наиболее информативную интервальную оценку для выводов относительно . В разделе 15.5 приводятся соответствующие примеры.

Важно осознавать различия между подходом, основанным на правдоподобных интервалах, и чрезвычайно сходным подходом к интервальному оцениванию, основанным на понятии доверительного интервала [см. разделы 4.1.3, 4.2]. При первом используется непосредственно для вычисления вероятности того, что лежит в пределах конкретного интервала. При втором рассматриваются интервалы со случайными граничными точками обладающими следующим свойством, выраженным в терминах распределения вероятность того, что интервал содержит , равняется 1—а для заданного подходящим образом а. Конкретный интервал который получается, когда наблюдается и называется доверительным интервалом уровня