§ 4. Об устойчивости в случае равных частот
Теперь рассмотрим задачу об устойчивости положения равновесия
системы (1.1) в случае равных частот колебаний линеаризованной системы. Эта задача изучена в работах Сокольского [86, 87]. Проводимые ниже рассмотрения основаны на результатах этих работ.
Задача об устойчивости в случае равных частот
распадается на две принципиально отличающиеся друг от друга задачи. Рассмотрим сначала первую из них, когда матрица линеаризованной системы (1.1) приводима к диагональной форме. В этом случае функцию Гамильтона (1.2) можно представить в виде (2.1), а затем применить преобразование Биркгофа.
Проводимая при этом нормализация принципиально ничем не отличается от аналогичных преобразований, проделанных в §§ 2 и 3. В конце концов, уничтожив форму
упростив
и перейдя к полярным координатам по формулам
получим функцию Гамильтона (1.2) в таком виде:
Вюражения коэффициентов нормальной формы (4.1) через коэффициенты гамильтониана (2.1) получаются из следующих формул:
(см. скан)

(кликните для просмотра скана)
Тогда функцию Гамильтона (4.1) можно записать в следующем более компактном виде:
Как и в предыдущем параграфе, при помощи интеграла
понизим порядок изучаемой системы на две единицы. Так как движение рассматривается в достаточно малой окрестности начала координат, то можно считать, что
где
Кроме того, считаем, что
, что возможно, так как функция Я не является знакоопределенной. Разрешив уравнение
относительно
введя вместо
новый угол
обозначив еще
через
найдем, что полученной системе с одной степенью свободы будет соответствовать функция Гамильтона
где
-периодическая по
и новой независимой переменной
функция,
и
Переменная
монотонная функция времени в достаточно малой окрестности начала координат, поэтому она в задаче об устойчивости может играть роль времени. Как видим, анализ совершенно аналогичен исследованию устойчивости при резонансах
проведенному в предыдущих параграфах. Теорема. Если функция
не обращается в нуль при вещественных
то положение равновесия устойчиво по Ляпунову. Если же существует
такое, что
а производная
то положение равновесия
неустойчиво.
Доказательство устойчивости проводится, как в предыдущем параграфе. Переменные
здесь вводятся при помощи производящей функции
вида
Интеграл
существует при условиях теоремы. Положительности
можно добиться изменением знака
в гамильтониане (4.4). Функция
в переменных
равна. Дальнейшие рассмотрения, как и в предыдущем параграфе, основаны на применении теоремы Мозера об инвариантных кривых.
Теперь докажем неустойчивость. Заметим, что из периодичности функции
и из того, что
следует, что если уравнение
имеет вещественные корни, то их по крайней мере два, причем знаки производной
в точках
соответствующих корням, различны. Пусть корень
такой, что
Для доказательства неустойчивости возьмем функцию
таева V в виде
где достаточно малое число
подберем так, чтобы в окрестности
не было других корней функции
а производная
сохраняла в этой окрестности знак. За область
возьмем область
Для производной функции V в силу уравнений движения с гамильтонианом (4.4) получаем такое выражение:
а эта функция в области
будет положительной, так как в области
а при
функция
и
при
функция
но и
причем выражение, стоящее в фигурных скобках, не обращается в нуль ни в области
, ни на ее границе. Таким образом, согласно теореме Четаева, имеет место неустойчивость.
Задача об устойчивости в случае, когда матрица линеаризованной системы (1.1) не приводится к диагональной форме, значительно сложнее. Трудность исследования состоит в том, что даже в линейном приближении переменные, соответствующие разным степеням свободы, не разделяются. Поэтому не удается свести исследуемую систему с двумя степенями свободы к системе с одной степенью свободы, как это было в том случае, когда матрица линейной части системы (1.1) приводилась к диагональной форме. Кроме того, весьма существенно, что, в отличие от предыдущего случая и от всех исследованных в этой главе случаев устойчивости, линеаризованная система (1.1) неустойчива из-за наличия в общем решении слагаемых вида
Учет же нелинейных членов в уравнениях движения может привести как к устойчивости, так и к неустойчивости полной системы [50].
В работах [86, 87] показано, что в рассматриваемом случае существует вещественная линейная каноническая замена переменных, приводящая функцию Гамильтона системы (1.1) к такому виду (обозначения для переменных оставляем прежними):
При помощи преобразования Биркгофа в функции Гамильтона (4.8) опять можно полностью уничтожить члены третьей степени, а совокупность членов четвертой степени можно упростить. В результате функция (4.8) приведется к виду (обозначения для переменных снова не меняем)
В (4.9) не выписаны члены выше четвертого порядка и введены следующие обозначения:
(см. скан)
(см. скан)
Прежде чем сформулировать теорему об устойчивости системы (1.1) в случае, когда матрица линейной ее части не приводится к диагональному виду, введем согласно [157] понятие формальной устойчивости.
Решение
системы
где
-периодическая по
аналитическая по
функция, называется формально устойчивым, если существует степенной ряд
возможно расходящийся, который формально является определенно-положительным интегралом с периодом
по
Иными словами, все коэффициенты, степенного ряда
тождественно равны нулю, а конечное число форм наименьшей степени в ряде
представляет собой определенно-положительную функцию
Теорема. Если в нормальной форме (4.9) А 0, то положение равновесия
системы (1.1) формально устойчиво; если же
то имеет место неустойчивость по Ляпунову.
Можно показать, что при помощи бесконечного числа шагов преобразования Биркгофа (возможно, расходящегося) функцию Гамильтона (4.9) можно привести к виду
Каноническая система с гамильтонианом (4.11) имеет два формальных интеграла
и
Следовательно, выражение
также будет формальным интегралом системы с гамильтонианом (4.11). А так как при 40 в разложении
функция
будет определенно-положительной функцией своих переменных
то отсюда следует формальная устойчивость положения равновесия.
Для доказательства неустойчивости воспользуемся теоремой Ляпунова о неустойчивости. За функцию Ляпунова примем знакопеременную функцию
Ее производная, составленная в силу уравнений движения с гамильтонианом (4.9), будет такой:
где не выписаны члены, порядок которых не меньше пятого относительно
Функция (4.12) при А 0 будет определенно-отрицательной. Таким образом, функция V удовлетворяет всем условиям теоремы Ляпунова о неустойчивости, и, следовательно, положение равновесия
системы (1.1) неустойчиво.