Главная > Статистическая гидромеханика
НАПИШУ ВСЁ ЧТО ЗАДАЛИ
СЕКРЕТНЫЙ БОТ В ТЕЛЕГЕ
<< Предыдущий параграф Следующий параграф >>
Пред.
1
2
3
4
5
6
7
8
9
10
11
12
13
14
15
16
17
18
19
20
21
22
23
24
25
26
27
28
29
30
31
32
33
34
35
36
37
38
39
40
41
42
43
44
45
46
47
48
49
50
51
52
53
54
55
56
57
58
59
60
61
62
63
64
65
66
67
68
69
70
71
72
73
74
75
76
77
78
79
80
81
82
83
84
85
86
87
88
89
90
91
92
93
94
95
96
97
98
99
100
101
102
103
104
105
106
107
108
109
110
111
112
113
114
115
116
117
118
119
120
121
122
123
124
125
126
127
128
129
130
131
132
133
134
135
136
137
138
139
140
141
142
143
144
145
146
147
148
149
150
151
152
153
154
155
156
157
158
159
160
161
162
163
164
165
166
167
168
169
170
171
172
173
174
175
176
177
178
179
180
181
182
183
184
185
186
187
188
189
190
191
192
193
194
195
196
197
198
199
200
201
202
203
204
205
206
207
208
209
210
211
212
213
214
215
216
217
218
219
220
221
222
223
224
225
226
227
228
229
230
231
232
233
234
235
236
237
238
239
240
241
242
243
244
245
246
247
248
249
250
251
252
253
254
255
256
257
258
259
260
261
262
263
264
265
266
267
268
269
270
271
272
273
274
275
276
277
278
279
280
281
282
283
284
285
286
287
288
289
290
291
292
293
294
295
296
297
298
299
300
301
302
303
304
305
306
307
308
309
310
311
312
313
314
315
316
317
318
319
320
321
322
323
324
325
326
327
328
329
330
331
332
333
334
335
336
337
338
339
340
341
342
343
344
345
346
347
348
349
350
351
352
353
354
355
356
357
358
359
360
361
362
363
364
365
366
367
368
369
370
371
372
373
374
375
376
377
378
379
380
381
382
383
384
385
386
387
388
389
390
391
392
393
394
395
396
397
398
399
400
401
402
403
404
405
406
407
408
409
410
411
412
413
414
415
416
417
418
419
420
421
422
423
424
425
426
427
428
429
430
431
432
433
434
435
436
437
438
439
440
441
442
443
444
445
446
447
448
449
450
451
452
453
454
455
456
457
458
459
460
461
462
463
464
465
466
467
468
469
470
471
472
473
474
475
476
477
478
479
480
481
482
483
484
485
486
487
488
489
490
491
492
493
494
495
496
497
498
499
500
501
502
503
504
505
506
507
508
509
510
511
512
513
514
515
516
517
518
519
520
521
522
523
524
525
526
527
528
529
530
531
532
533
534
535
536
537
538
539
540
541
542
543
544
545
546
547
548
549
550
551
552
553
554
555
556
557
558
559
560
561
562
563
564
565
566
567
568
569
570
571
572
573
574
575
576
577
578
579
580
581
582
583
584
585
586
587
588
589
590
591
592
593
594
595
596
597
След.
Макеты страниц

Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше

Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике

ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO

4.4. Определение моментов и семиинвариантов случайного поля по его характеристическому функционалу

Так как характеристический функцяоиал содержит в себе полное статистическое описание случайного поля, то ясно, что он определяет также все моменты и семиинварианты этого поля. Сейчас мы выведем явные формулы, связывающие моменты и семиинварианты с функционалом при этом мы придем к естественному обобщению формул (4.9) и (4.11), относящихся к конечномерному случаю.

Начнем опять с рассмотрения случайной функции от одного переменного. Так как моменты и семиинварианты случайного вектора выражаются, как мы знаем, через частные производные соответствующей характеристической функции то прежде всего нам надо обобщить понятие производной на случай функции от бесконечного числа переменных — функционала относительно функции . Напомним,, что в конечномерном случае функция называется дифференцируемой и точке если ее приращение при небольшом изменении значений аргумента представимо в виде

(т. е. с точностью до малых высшего порядка линейно зависит от Частную производную при этом можно определить как коэффициент при в линейной части приращения так что

Аналогично этому функционал мы будем называть дифференцируемым при значении его аргумента, если при добавлении к небольшой добаики главная часть изменения рассматриваемого функционала линейно зависит от

(иначе говоря, если существует производная представимая в виде Значение функции в точке в этом случае называется вариационной производной от по в точке Учитывая, что является коэффициентом при в линейной части приращения удобно принять для вариационной производной обозначение

Это обозначение подчеркивает также, что фактически вариационная производная представляет собой двойной предел

где на этот раз под понимается функция, отличная от нуля лишь на малом интервале длины окружающем точку х. Требование дифференцируемости функционала накладывает на этот функционал определенные ограничения, которым, например, не удовлетворяет такой простейший функционал, как зиачеияе функции в фиксированной точке Наиболее простым примером дифференцируемого функционала является функционал для которого, очевидно, а

В примере (4.40) вариационная производная не зависит от значения функции при котором эта производная берется. Однако в общем случае это уже, разумеется, будет не так, так что формулы (4.38) и (4.39) более правильно было бы писать в виде

Таким образом, вариационная производная от функционала является снова функционалом от зависящим еще от точки как от параметра. Поэтому эта вариационная производная будет уже иметь производные двоякого типа: ее можно обычным образом дифференцировать по параметру а можно также составить ее вариационную производную по в точке являющуюся второй вариационной производной от исходного функционала

Вторая вариационная производная будет уже функционалом зависящим от пары точек причем этот функционал будет не произвольным, а удовлетворяющим условию симметрии вытекающему из легко доказываемого тождества

Простейший пример дважды дифференцируемого функционала доставляет функционал в этом случае,

как нетрудно проверить,

Аналогично определяются также и вариационные производные высших порядков: вариационная производная

(если она существует), очевидно, является функционалом относительно зависящим еще от точек

Пусть теперь -характеристический функционал случайной функции задающийся формулой (3.21). В таком случае

(так как осреднение переставимо с дифференцированием). Отсюда следует, что

Рассуждай таким же образом, можно получить и более общее равенство

показывающее, что

Формула (4.46) и является обобщением формулы на бесконечномерный случай.

Совершенно аналогично определяются вариационные производные от функционалов зависящих от (скалярной или векторной) функции точки х многомерного пространства. Так, например, функционал называется дифференцируемым по при заданном значении функции в если имеет место равенство

(т. е. если главная часть приращения при небольшом изменении функции линейно зависит от В этом случае функционал

зависящий от точки как от параметра, называется вариационной производной (или, подробнее, частной вариационной производной) от по в точке (иначе эту производную можно определить как двойной предел

где векторная функция, у которой отлична от нуля лишь компонента и притом только в малой окрестности точки Вариационную производную (4.48) можно затем продифференцировать по при этом придем ко второй вариационной производной

зависящей уже от пары точек и удовлетворяющей условию

Подобным же образом определяются и вариационные производные

высших порядков. Если под понимать характеристический функционал -мерного случайного поля и то совершенно аналогично выводу формулы (4.46) получается равенство

(Заметим, что свойство (4.50) вариационных производных обращается при этом в известное свойство (4.18) корреляционных функций).

Семиинварианты случайного поля мы теперь определим при помощи равенства

где характеристический функционал нашего поля. Легко видеть, что

и вообще, что совпадает с семиинвариантом системы величии определенным по соответствующей характеристической функции с помощью формулы (4.11). Из формулы (4.52) легко вывести все свойства семиинвариантов (свойство (4.50) вариационной производной, например, означает, что корреляционные функции пульсаций должны обладать тем же свойством (4.18), что и обычные корреляционные функции). Для функционала имеющего вариационные производные всеч порядков, при некоторых условиях можно получить разложение в ряд Тэйлора:

В применении к характеристическому функционалу случайного поля это разложение обращается в разложение по корреляционным функциям всевозможных порядков:

Можно показать, что для сходимости ряда в правой части (4.54) яеобходимо и достаточно, чтобы его члея стремился к яулю при если же мы оборвем этот ряд на конечном числе члеяов, то для остатка можяо получить оцеяку, близкую к оцеяке остаточяого члеяа обычяого ряда Тэйлора (см. Новиков (1964)). Заметим, одяако, что если мы просто оборвем разложение (4.54) функционала каком-либо конечном числе члеяов, никак не учитывая остатка, то Мы придем к функционалу, обладающему свойством (3.24) характеристического функционала, но наверное не обладающему столь же обязательным свойством (3.25). В самом деле, это следует хотя бы из того, что функционал, равяый сумме конечного числа членов правой части (4.54), не удовлетворяет уже простейшему яеравеяству вытекающему из яеравеяства (3.25) с (а также и из самого определения (3.27) характеристического функционала Поэтому, предположив, что все момеяты некоторого случайного поля порядка выше данного К тождественно обращаются в нуль, мы можем в конце кояцов прийтя к абсурдным яыводам, противоречащим, например, условию, что никакая вероятность не может превосходить единицы.

Несколько более удобным с этой точки зрения представляется применение разложения Тэйлора к логарифму характеристического функционала т. е. представление в виде

Оборвав разложение (4.55) на конечном числе членов, мы на этот раз придем уже к функционалу, удовлетворяющему только условию (3.24), и необходимому для характеристического функционала условию . Более того, ограничившись лишь линейными и квадратичными по членами в правой части (4.55), мы получим функционал, наверное являющийся характеристическим функционалом некоторого случайного поля — а именно гауссовского случайного поля с теми же моментами первых двух порядков, что и исходное поле (см. формулу Если, одяако, мы учтем в разложении (4.55) еще члены третьего порядка по т. е. положим

или же оборвем ряд (4.55) на любом другом конечном числе членов выше второго порядка по то мы придем к функционалу, который будет удовлетворять (3.24) и условию яообще говоря, не будет обладать свойством (3.25), необходимым для характеристических функционалов. Поэтому, предположив, что все семяиявариаяты рассматриваемого случайного поля и порядка выше даяяого обращаются в иуль, мы также можем в конце кояцов прийти к противоречию с очевидными свойствами распределений вероятности (например, с неотрицательностью вероятности, из которой следует условие В части 2 книги мы еще будем иметь случай вспомнить об этом неприятном обстоятельстве.

1
Оглавление
email@scask.ru