4.7. Эргодическая теорема

Будем сначала для определенности говорить только о стационарных случайных процессах и о временном осреднении; точно те же рассуждения (лишь с заменой времени пространственной координатой будут, разумеется, применимы и к однородным случайным полям на прямой. Начнем с того, что четко определим, что мы будем понимать под сходимостью случайной величины задаваемой равенством (4.57), при к константе Нам будет удобно считать случайную функцию сходящейся при к пределу (вообще говоря, являющемуся случайной величиной), если

В силу известного неравенства Чебышева

из (4.68) будет также следовать, что

т. е. что вероятность отклонения величины от превышающего любое заданное будет стремиться к нулю при (и, следовательно, будет сколь угодно малой, если только выбрать достаточно большое значение Т). Равенство (4.70) дает

достаточные основания для того, чтобы на практике можно было вместо использовать значение величины где Т сравнительно велико; поэтому остается лишь выяснить, при каких условиях соотношение (4.68) будет иметь место.

Легко понять, что правая часть (4.68), где временное среднее (4.57) значений стационарного случайного процесса его теоретико-вероятностное среднее значение, может быть выражена через корреляционную функцию пульсаций

(см. ниже равенство Поэтому справедливость равенства (4.68) должна определяться какими-то свойствами функции С точки зрения приложений к теории турбулентности основное значение имеет следующий факт: если при то сходимость величин к вероятностному среднему значению обязательно имеет место. Этот факт является следствием следующей общей теоремы, впервые доказанной Слуцким (1938) (см. также Обухов для того чтобы для стационарного случайного процесса выполнялось равенство (4.68), необходимо и достаточно, чтобы корреляционная функция удовлетворяла условию

(доказательство этой теоремы, называемой обычно законом больших чисел или эргодической теоремой для стационарных случайных процессов, приведено ниже на если при , то и условие (4.72) наверное будет выполняться; отсюда вытекает, что в этом случае равенство (4.68) всегда будет справедливо. Так как корреляционную функцию пульсаций гидродинамического поля турбулентного потока всегда можно считать стремящейся к нулю при (ср. выше стр. 187), то в теории турбулентности всегда можно исходить из того, что для установившихся течений теоретико-вероятностные средние значения любых гидродинамических полей могут быть определены с помощью осреднения по достаточно большому интервалу времени.

Если скорость убывания при возрастании такова, что

то существует также простая оценка длины Т тех интервалов, осреднение по которым достаточно для получения среднего значения с заданной точностью. В самом деле, можно показать, что в этом случае при достаточно большом Т имеет место асимптотическое равенство

где

— постоянная размерности времени, которую можно назвать «временем корреляции» стационарной функции (формула (4.74) была получена еще Тэйлором (1921)). Таким образом, для надежного определения величины надо только воспользоваться временным осреднением по периоду Т, много большему, чем соответствующее «время корреляции» Выбрав желательную нам степень точности (т. е. наибольшую среднюю квадратичную ошибку, которую еще можно считать допустимой при замене на мы можем определить по формуле (4.74) и требуемый период осреднения

Скажем теперь еще несколько слов по поводу однородных случайных полей и пространственного осреднения. Случай однородных полей на прямой, как мы уже отмечали, вообще ничем не отличается от случая стационарных процессов. Что же касается до однородных случайных полей на плоскости или в пространстве, то значения такого поля на любой прямой будут представлять собой однородное случайное поле на прямой. Поэтому если только корреляционная функция пульсаций этого поля такова, что хотя бы для одного направления (единичного вектора) функция от удовлетворяет условию (4.72) (например, если при хотя бы вдоль одного направления), то средние по пространству (или

плоскости) наверное будут сходиться к константе (такая сходимость здесь будет иметь место даже при осреднении лишь по одной прямой, параллельной Общее условие, необходимое и достаточное для сходимости для всех среднем квадратичном к при для однородных полей в пространстве имеет вид

(изменения для случая двумерных полей являются очевидными); доказательство этого условия почти не отличается от аналогичного доказательства для одномерного случая. Вместо (4.74) мы теперь будем иметь формулу

где — среднее по объему «объем корреляции»:

который в формуле (4.74), естественно, предполагается конечным.

Указанные выше результаты могут быть применены и к вопросу о вычислении высших моментов или других теоретико-вероятностных средних значений каких-либо функций от значений или при помощи временного или пространственного осреднения; при этом надо только заменить процесс или поле новым процессом или полем, являющимся нелинейной функцией исходного. Например, в случае стационарного процесса для возможности получения момента порядка (4.62) при помощи осреднения по времени величины надо только, чтобы момент порядка

при фиксированных являлся функцией от удовлетворяющей условию (4.72). Поскольку обычно из физических

соображений можно утверждать, что коэффициент корреляции между величинами при стремится к нулю, то нужное нам условие на практике обычно можно считать выполняющимся, а использование временного осреднения законным. Для оценки необходимого времени осреднения надо оценить соответствующее «время корреляции», т. е. интеграл от указанного коэффициента корреляции. В случае гауссовских процессов момент (4.77) можно выразить через корреляционную функцию и среднее значение процесса с помощью общего правила (4.28) вычисления высших моментов. В частности, при определении с помощью временного осреднения среднего квадрата значения гауссовского стационарного случайного процесса с нулевым средним значением роль корреляционной функции будет играть функция

поэтому здесь формулы (4.74)-(4.75) принимают вид

Заметим, что в этом случае из условия

в которое обращается (4.72) при замене функции функцией (4.78), будет вытекать также первоначальное условие (4.72). Кроме того, для гауссовского стационарного процесса из (4.80) будет следовать, что вероятностное среднее значение любой функции от значений процесса, имеющей конечное среднее значение, будет равно пределу при от соответствующего временного среднего за время Т (см., например, Гренандер (1950)). Обобщение последнего результата на гауссовские однородные случайные поля (и на некоторые еще более общие гауссовские случайные функции) сформулировано в заметке Темпельмана (1962); несколько более слабый результат о таких случайных полях доказан в работе Биркгофа и Кампе де Ферье (1962).

Для доказательства того, что при условии (4.72) равенство (4.68) обязательно будет иметь место, выразим средний квадрат разности

через корреляционную функцию

(мы использовали подстановку и учли, что Если удовлетворяет условию (4.72), то для любого будет существовать такое что

С другой стороны, в силу неравенства при любом

Интегрируя неравенство (4.83) по от нуля до , а неравенство (4.82) — от до некоторого найдем, что при любом

Следовательно,

т. е. при

Итак, для любого при

т. e. равенство (4.68) действительно имеет место.

Если предел, фигурирующий в левой части (4.72), существует, но равен отличному от нуля значению с, то условию (4.72), очевидно, будет удовлетворять функция Отсюда ясно, что в этом случае

т. е. при здесь не сходится к Но можно показать, что для корреляционной функции всегда существует (см., например, гл. 6 ч. 2 настоящей книги). Отсюда вытекает, что в случаях, когда условие (4.72) нарушается, временные средние не будут при сходиться к соответствующему теоретике-вероятностному среднему

Если корреляционная функция удовлетворяет не только (4.72), но и более сильному условию (4.73), то из (4.81) легко следует формула (4.74).

Заметим, что из равенства (4.68), вообще говоря, еще не следует, что для любой реализации случайного процесса временные средние при действительно стремятся к пределу, совпадающему с Этому равенству не противоречило бы, если бы даже для любой реализации иногда встречались такие сколь угодно большие значения Т, при которых было бы далеко от (так что для отдельных реализаций предел просто не существовал бы). Можно доказать, однако, что для любого стационарного случайного процесса для почти всех реализаций (т. е. для всех реализаций, кроме, быть может, некоторых «особых» реализаций, суммарная вероятность которых равна нулю) значения временного среднего при со стремятся к определенному пределу (так называемая «эргоднческая теорема Дж. Биркгофа — Хинчина»; см., например, Дуб (1953), гл. XI, § 2, Розанов (1963), гл. IV, § 5). Но отсюда вытекает, что во всех случаях, когда выполняется (4.68) (т. е. когда корреляционная функция удовлетворяет условию (4.72)), предел временных средних, составленных по отдельной реализации процесса с вероятностью единица существует и равняется