Ортонормированный базис евклидова пространства.

Для евклидовых пространств одним из основных является понятие ортонормированного базиса.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Система векторов евклидова пространства назьюается ортонормированной, если она ортогональна и каждый ее вектор нормирован. Ортонормированная система векторов, являющаяся базисом пространства, называется ортонормированным базисом пространства.

ТЕОРЕМА 6.3. Конечномерное ненулевое евклидово векторное пространство обладает ортонормированным базисом.

Доказательство. Пусть — -мерное евклидово пространство и . По следствию 5.5, обладает ортогональным базисом; пусть

— такой базис. Нормируем систему (1), т. е. образуем систему

Легко видеть, что

Следовательно, система является ортонормированным базисом пространства

Рассмотрим некоторые свойства ортонормнрованного базиса.

СВОЙСТВО 6.1. Если — -мерное ненулевое евклидово пространство, то любая ортонормирозанная система векторов является ортонормированным базисом пространства

Это свойство непосредственно вытекает из следствия 5.3.

СВОЙСТВО 6.2. Ортонормированную систему векторов ненулевого конечномерного евклидова пространства, не являющуюся базисом, можно дополнить до ортонормированного базиса пространства.

Доказательство. Согласно теореме 5.4, ортонормированную систему векторов не являющуюся базисом, можно дополнить до ортогонального базиса

пространства. Нормируя векторы этой системы, т. е. заменяя на для , получаем ортонормированный базис пространства.

СВОЙСТВО 6.3. Если — ортонормированный базис евклидова пространства и

— векторы пространства, то

Это свойство легко следует из свойства билинейности скалярного умножения.

СВОЙСТВО 6.4. Если — ортонормированный базис евклидова пространства и , то для , т. е. координаты вектора а являются его проекциями на базисные векторы.

Доказательство. Равенство получается из равенства в результате умножения скалярно на вектор

СВОЙСТВО 6.5. Если — подпространство конечномерного евклидова пространства , то

Это свойство непосредственно вытекает из следствия 5.8 и свойства 3.4, поскольку в евклидовом пространстве скалярное умножение является невырожденным.