Норма вектора.
Пусть 
— евклидово векторное пространство.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Нормой вектора евклидова пространства называется арифметический квадратный корень из скалярного квадрата вектора.
Норма вектора обозначается через 
По определению, 
Следовательно, 
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Вектор а называется нормированным, если 
Следующая теорема выражает основные свойства нормы вектора.
ТЕОРЕМА 6.2. Если а, b — векторы евклидова пространства и 
, то:
Доказательство. Скалярное Умножение в евклидовом пространстве положительно определено, т. е. 
при 
. Кроме того, 
при 
.
Согласно определению нормы,
т. е. выполняется (2).
Неравенство (3) верно, если 
или 
. Поэтому будем предполагать, что а и b — ненулевые векторы. Для любых действительных чисел 
имеем неравенство
Раскрывая скобки в левой части неравенства 
и полагая 
, получаем:
Так как 
то 
, поэтому
Заменим в этом неравенстве а на —а:
На основании последних двух неравенств заключаем, что имеет место неравенство (3).
Для доказательства неравенства (4) достаточно показать, что 
Легко видеть, что 
; поэтому
В силу (5) второе слагаемое в правой части последнего равенства меньше или равно нулю, следовательно,
отсюда вытекает неравенство (4).
