Изоморфизмы евклидовых пространств.

Пусть и — евклидовы пространства.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Отображение f евклидова пространства U на называется изоморфизмом, если оно инъективно и удовлетворяет условиям:

для любых из и любого скаляра из R. Евклидовы пространства называются изоморфными, если существует изоморфизм евклидова пространства на

Запись означает, что евклидовы пространства и изоморфны.

Отметим следующие свойства изоморфизмов.

СВОЙСТВО 6.6. Отношение изоморфизма на каком-либо множестве евклидовых пространств является отношением эквивалентности.

Доказательство. Легко видеть, что отношение изоморфизма рефлексивно.

Воспользуемся свойствами 4.2 и 4.3 изоморфизмов векторных пространств. Если f — изоморфизм евклидова пространства на то биективно и удовлетворяет условиям линейности. Далее, так как удовлетворяет условию (3), то для любых а, b из V

т. е. отображение также удовлетворяет условию (3). Таким образом, есть изоморфизм евклидова пространства на . Следовательно, отношение изоморфизма евклидовых пространств симметрично.

Пусть — евклидовы пространства. Если f — изоморфизм на Т и g — изоморфизм на W, то, по свойству 4.1 изоморфизмов векторных пространств, композиция есть инъективное отображение на удовлетворяющее условиям линейности. Далее, так как

то

для любых а, b из U.

Поэтому является изоморфизмом евклидова пространства U на . Следовательно, отношение изоморфизма транзитивно.

СВОЙСТВО 6.7. Пусть U, — евклидовы пространства и f — изоморфизм U на v. Если — ортонормированный базис пространства U, то система является ортонормированным базисом пространства .

Доказательство. Так как -изоморфизм, Следовательно,

Таким образом, система является ортонормированной. Кроме того, по свойству 4.4 изоморфизмов векторных пространств, система является базисом пространства

ТЕОРЕМА 6.4. Любое ненулевое евклидово пространство размерности изоморфно стандартному -мерному евклидову пространству.

Доказательство. Пусть — -мерное евклидово пространство и — его фиксированный ортонормированный базис. Пусть — стандартное -мерное евклидово пространство. По теореме 4.3, отображение ставящее в соответствие каждому вектору из V его координатную строку является инъективным и удовлетворяет условиям линейности. Кроме того, если то

Следовательно, f является изоморфизмом евклидова пространства на стандартное евклидово пространство

ТЕОРЕМА 6.5. Два конечномерных евклидовых пространства изоморфны тогда и только тогда, когда равны их размерности.

Доказательство. Пусть и — конечномерные евклидовы пространства. Если пространства изоморфны, то, по теореме 4.6,

Предположим теперь, что . Если , то пространство и — нулевые и поэтому изоморфны. Если же , то, по теореме . В силу транзитивности изоморфизма отсюда следует, что евклидовы пространства изоморфны.