Теорема об эпиморфизмах колец.

Пусть — кольца:

ТЕОРЕМА 1.4. Ядро гомоморфизма кольца в кольцо является идеалом кольца .

Доказательство. Пусть — ядро гомоморфизма кольца в кольцо , т. е. где 0 — нуль кольца

Множество не пусто, так как Для любых а, b из имеем

т. е. множество замкнуто в относительно вычитания. Для любого а из и любого k из К имеем

т.е. . Аналогично убеждаемся, что

Таким образом, устойчиво относительно умножения на элементы К. Следовательно, ядро гомоморфизма является идеалом кольца

ПРЕДЛОЖЕНИЕ 1.5. Пусть f — гомоморфизм кольца в кольцо с ядром I. Для любых а, b из К равенство выполняется тогда и только тогда, когда Доказательство. Пусть Тогда

поскольку -гомоморфизм. Поэтому и, следовательно,

Теперь допустим, что . Тогда поскольку Отсюда, учитывая (1), получаем

ТЕОРЕМА 1.6. Пусть — эпиморфизм кольца на кольцо с ядром Тогда фактор-кольцо изоморфно кольцу

Доказательство. По условию, Пусть — множество всех классов вычетов кольца по идеалу и

где Обозначим через h отображение определяемое следующим образом:

для каждого элемента а из К.

В силу предложения 1.5 значение не зависит от выбора представителя а в смежном классе . Далее, отображение h сохраняет главные операции кольца . В самом деле, для любых а, b из К имеем:

По условию, f отображает на . В силу (1) отсюда следует, что h есть отображение множества К на множество . Отображение h инъективно. В самом деле, в силу (1) из равенства следует в силу предложения 1.5 отсюда следует, что . Следовательно, h является изоморфизмом фактор-кольца на кольцо .