Фактор-кольцо.

Пусть I — идеал кольца Выше было установлено, что отношение сравнения по идеалу есть отношение эквивалентности на множестве Классы эквивалентности называются классами вычетов или смежными классами кольца по идеалу Множество всех классов вычетов называется фактор-множеством К по идеалу I и обозначается через

Свойства 1.1—1.4 сравнений по идеалу показывают, что отношение сравнения по идеалу является конгруэнцией в кольце (конгруэнцией относительно всех главных операций кольца ).

Поэтому, согласно теореме 3.1.9, на фактор-множестве можно определить операции , ассоциированные с главными операциями кольца , следующим образом:

для любых элементов а, В из

Такое определение операций на фактор-множестве является корректным, так как не зависит от выбора элементов а, b в смежных классах соответственно.

ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Алгебра называется фактор-кольцом кольца по идеалу I и обозначается через

ТЕОРЕМА 1.3. Пусть I — идеал кольца . Тогда алгебра является кольцом.

Доказательство. Алгебра есть абелева группа, так как она является фактор-группой аддитивной группы кольца Ж по подгруппе () (см. теорему 10.4.2).

Алгебра является моноидом. В самом деле, в силу ассоциативности умножения в Ж для любых а, b, с из

т. е. умножение в алгебре ассоциативно. Кроме того,

т. е. I является нейтральным элементом относительно умножения в алгебре

Умножение в дистрибутивно относительно сложения. В самом деле, в силу дистрибутивности умножения относительно сложения в кольце для любых а, b, С из имеем

Аналогично убеждаемся в том, что .