Поэтому, согласно теореме 3.1.9, на фактор-множестве 
можно определить операции 
, ассоциированные с главными операциями кольца 
, следующим образом:
для любых элементов а, В из 
Такое определение операций на фактор-множестве 
является корректным, так как не зависит от выбора элементов а, b в смежных классах 
соответственно.
ОПРЕДЕЛЕНИЕ. Алгебра 
называется фактор-кольцом кольца 
по идеалу I и обозначается через 
ТЕОРЕМА 1.3. Пусть I — идеал кольца 
. Тогда алгебра 
является кольцом.
Доказательство. Алгебра 
есть абелева группа, так как она является фактор-группой аддитивной группы 
кольца Ж по подгруппе (
) (см. теорему 10.4.2).
Алгебра 
является моноидом. В самом деле, в силу ассоциативности умножения в Ж для любых а, b, с из 
т. е. умножение в алгебре 
ассоциативно. Кроме того,
т. е. I является нейтральным элементом относительно умножения в алгебре 
Умножение в 
дистрибутивно относительно сложения. В самом деле, в силу дистрибутивности умножения относительно сложения в кольце 
для любых а, b, С из 
имеем
Аналогично убеждаемся в том, что 
.
Выше было установлено, что отношение сравнения по идеалу 
есть отношение эквивалентности на множестве 
Классы эквивалентности называются классами вычетов или смежными классами кольца 
по идеалу 
Множество всех классов вычетов называется фактор-множеством К по идеалу I и обозначается через 
является конгруэнцией в кольце 
(конгруэнцией относительно всех главных операций кольца 
).
