Пред.
След.
Макеты страниц
Распознанный текст, спецсимволы и формулы могут содержать ошибки, поэтому с корректным вариантом рекомендуем ознакомиться на отсканированных изображениях учебника выше Также, советуем воспользоваться поиском по сайту, мы уверены, что вы сможете найти больше информации по нужной Вам тематике ДЛЯ СТУДЕНТОВ И ШКОЛЬНИКОВ ЕСТЬ
ZADANIA.TO
1.3 Марковские случайные процессыМарковские случайные процессы играют важную роль при исследовании СМО. Поэтому приведем некоторые сведения из теории таких процессов, которые будут использоваться в дальнейшем изложении. Определение 10. Случайный процесс
Параметр t процесса будем рассматривать как время. Если В случае, если пространство состояний Y марковского процесса Важным частным случаем цепи Маркова с непрерывным временем является так называемый процесс гибели и размножения. 1.3.1 Процессы гибели и размноженияОпределение 11. Случайный процесс • пространство состояний процесса есть множество неотрицательных целых чисел (или его некоторое подмножество); • время пребывания процесса в состоянии • после завершения пребывания процесса в состоянии Состояние процесса Обозначим Утверждение 8. Вероятности
где Для доказательства применим так называемый Сущность этого метода состоит в следующем. Фиксируется некоторый момент времени t и некоторое малое приращение времени Применяем этот метод для вывода уравнений (1.3). Обозначим через Вероятность того, что процесс
то есть, вероятность изменения состояния процесса за время Используя приведенные рассуждения и формулу полной вероятности, мы получаем соотношения:
Из описания процесса и формулы (1.4) следует, что:
Подставляя соотношения (1.6) в (1.5) и используя введенные обозначения переписываем (1.5) в виде:
Деля обе части этого уравнения на Утверждение 8 доказано. Для решения бесконечной системы дифференциальных уравнений (1.2), (1.3) путем перехода к преобразованиям Лапласа (см. ниже) Однако, и эта система может быть решена в явном виде только в некоторых случаях, когда трехдиагональная матрица этой системы имеет дополнительную специфику (например,
Положительные предельные (стационарные) вероятности Для рассматриваемого нами процесса гибели и размножения можно доказать следующий результат. Утверждение 9. Стационарное распределение вероятностей (1.8) рассматриваемого процесса гибели и размножения существует, если сходится ряд
где
и расходится ряд
При этом стационарные вероятности
Последняя часть утверждения доказывается элементарно. Предполагаем, что условия (1.9) и (1.10) выполняются и пределы (1.8) существуют. Устремляем в (1.2), (1.3) t к бесконечности. При этом производные Существование пределов этих производных следует из существования пределов в правой части системы (1-2), (1.3). Равенство пределов производных нулю следует из того, что предположение о том, что пределы ненулевые, противоречит ограниченности вероятностей: В результате, из (1.2), (1.3) получаем систему линейных алгебраических уравнений для распределения
Введя обозначение
откуда следует, что
Отсюда следует, что
|
1 |
Оглавление
|