Лекция третья

Представление фотона с помощью потенциалов

по существу, соответствует выбору определенной калибровки. Свобода такого выбора является следствием инвариантности уравнения Паули по отношению к квантовомеханическому калибровочному преобразованию.

Квантовомеханическое преобразование является простым обобщением классического, которое гласит, что если

а

то при замене

где — скалярная функция, поля Е и В остаются инвариантными.

В квантовой механике вводится дополнительное преобразование волновой функции

Инвариантность уравнения Паули доказывается следующим образом. Уравнение Паули имеет вид

Далее, так как

получаем

В результате дифференцирования по времени появляется дополнительный член который можно объединить с членом Таким образом, преобразования

оставляют уравнение Паули инвариантным.

В уравнении Паули векторный потенциал фотона А играет роль возмущения, вызывающего переходы из состояния i в состояние . Матричный элемент перехода для любого зависящего от времени возмущения вида

определяется выражением

Отсюда видно, что результат возмущения ДН оказывается таким же, как и в случае не зависящего от времени возмущения , вызывающего переходы между начальным и конечным состояниями, энергии которых соответственно равный Как хорошо известно, наиболее существенный вклад дают состояния, в которых

Используя полученные выше результаты для вероятности перехода в единицу времени, находим

Чтобы определить величину запишем

Утверждение сформулированного в предыдущей лекции правила о том, что потенциал действует лишь один раз, эквивалентно учету членов первого порядка по полю. В таком приближении член должен быть опущен. Используя выражение и операторные соотношения

или

где (это следует из уравнений Максвелла при выбранной калибровке поля), можно написать

Эта формула является точной. Ее можно упростить, используя так называемое «дипольное» приближение. Для получения такого приближения рассмотрим член , который по порядку величины равен скорости электрона в атоме или, точнее, току. Разложим экспоненту в ряд

Величина порядка , где — линейный размер атома, а — длина волны фотона. При всеми членами выше первого порядка по в этом разложении можно пренебречь. В дипольном приближении пренебрегают также последним слагаемым в выражении для . Такое пренебрежение обосновано уже благодаря следующей оценке порядка величины этого члена: . Несмотря на то что этот член действительно пренебрежимо мал, такая оценка является завышенной. Более строгое соотношение имеет вид

где матричный элемент равен

С хорошей степенью точности можем записать

а

Тогда в рассматриваемом приближении указанный матричный элемент будет равен нулю, так как

вследствие ортогональности состояний.

Ниже мы будем пользоваться дипольным приближением. При этом

где

Таким образом, имеем

Используя операторное соотношение находим

где Полная вероятность получается путем интегрирования по телесному углу результате имеем

Величина здесь представлена в виде (фиг. 1)

Фиг. 1.

Подставляя значение для получаем