4.2. Векторные пространства

Рассмотрим множество S с бинарной операцией Пусть F — поле, где символы обозначают операции сложения и умножения соответственно. Пусть также определена операция умножения, обозначаемая символом между элементами F и . Эта операция сопоставляет каждой упорядоченной паре , где а принадлежит F, a s принадлежит , единственный элемент множества S, обозначаемый Множество S называется векторным пространством над полем F, если выполнены следующие аксиомы:

1) — абелева группа относительно операции

2) Для любых элементов поля F и любых s и принадлежащих S, имеем

3) Для любых элементов , принадлежащих F, и любого элемента s из множества имеет место равенство Для любого элемента s множества выполняется равенство , где — мультипликативный нулевой элемент поля F. Приведем важный пример векторного пространства.

Рассмотрим множество W всех - векторов 11 над полем F. (Заметим, что элементы -векторов принадлежат F.) Символы будут обозначать операции сложения и умножения в F соответственно, а и — аддитивный и мультипликативный нулевые элементы в F Пусть — операция сложения на множестве W, а — операция

умножения между элементами F и W, определенные следующим образом:

1. Если элементы , то

2. Если а принадлежит F, то . Нетрудно установить, что W — абелева группа относительно операции в которой нулевым элементом считается -вектор Таким образом, множество W удовлетворяет первой аксиоме в определении векторного пространства. Легко убедиться в том, что элементы множеств W и F удовлетворяют и трем другим аксиомам этого определения.

Например, множество W, состоящее из восьми -векторов, приведенных ниже, является векторным пространством над Это векторное пространство будем использовать во всех, примерах данного раздела.

Теперь приведем несколько важных определений и результатов (без доказательств), связанных с векторным пространством.

Рассмотрим векторное пространство S над полем

Векторы и скаляры. Элементы множества называются векторами, а элементы множества F — скалярами.

Линейная комбинация. Если элемент множества S можно представить в виде где — векторы, а — скаляры, то говорят, что s является линейной комбинацией

Линейная независимость. Векторы — линейнонезависимы, если никакой из векторов этого множества нельзя представить в виде линейной комбинации остальных.

Базисные векторы. Векторы образуют базис в векторном пространстве S, если они линейно-независимы и любой вектор в этом пространстве можно представить в виде линейной комбинации этих векторов. Векторы называются базисными. Представление вектора в виде линейной комбинации базисных векторов единственно для данного базиса. Векторное пространство может иметь и несколько базисов. Однако можно доказать, что все базисы, имеют одинаковое число векторов.

Размерность. Размерность векторного пространства S, обозначаемая определяется числом базисных векторов в базисе S. Подпространство. Если S — подмножество векторного пространства S над полем F, то S — подпространство пространства S, если S также векторное пространство над

Прямая сумма. Прямой суммой двух подпространств и пространства S называется множество всех векторов вида , где — принадлежит подпространству — подпространству также является подпространством, и размерность его определяется следующим образом:

. Заметим, что если подпространства, то также подпространство. Проиллюстрируем эти определения с помощью векторного подпространства W -векторов над полем GF (2). Векторы принадлежащие подпространству W, определены ранее.

1. — линейная комбинация поскольку

2. Векторы — линейно-независимы, так как ни один из них нельзя выразить через другой. Следует отметить, что линейно-независимы для любого

3. Векторы образуют в пространстве W базис, поскольку они линейно-независимы, а оставшиеся векторы, как показано ниже, можно представить в виде линейной комбинации этих векторов: Можно проверить, что векторы , также образуют базис.

4. Размерность векторного пространства W равна 3, так как три вектора образуют его базис.

5. Множества — подпространства пространства W. Базисами являются соответственно. Таким образом,

6. Если и W" определены как в п. 5, то

7. Размерность определяется следующим равенством: (ГПГ).

Поскольку имеем Таким образом, получаем Того же самого результата можно достичь с учетом

Теперь определим изоморфизм между двумя векторными пространствами над одним и тем же полем.

Пусть S и S — два n-мерных векторных подпространства над полем F. Говорят, что S и S изоморфны, если между ними существует такое взаимно-однозначное соответствие, что справедливы утверждения:

1. Если векторам s, и принадлежащим подпространству S, соответствуют векторы и пространства S, то вектору соответствует вектор где и А — операции в S и S соответственно.

2. Для любого а в поле F вектору соответствует вектор a A s, если вектор s пространства S соответствует вектору s пространства , где и А — операции в соответственно.

Рассмотрим -мерное векторное пространство S над полем F и -мерное векторное пространство W векторов над полем F. Пусть

векторы образуют базис в пространстве S. Сопоставим вектору s из пространства S вектор из пространства W тогда и только тогда, когда

Нетрудно видеть, что это взаимно-однозначное соответствие определяет изоморфизм между пространствами и

Таким образом, сформулируем следующий важный вывод:

Теорема 4.1. Любое -мерное векторное пространство над полем F является изоморфным векторному пространству W -векторов над полем

Эта теорема является главным звеном, связывающим векторные пространства и матрицы. Она предполагает, что -мерное векторное пространство над полем F можно исследовать с использованием -мерного векторного пространства W всех -векторов над полем

Завершим этот раздел определением двух наиболее важных понятий — скалярное произведение и ортогональность. Пусть — два элемента векторного пространства W -векторов над полем F. Скалярным произведением обозначаемым через называется скаляр, определяемый выражением . Например, если то Векторы ортогональны относительно друг друга, если , где 0 — аддитивный нулевой элемент поля F. Например, векторы ортогональны над полем GF (2), поскольку Два подпространства W и W" векторного пространства W являются ортогональными подпространствами этого же пространства, если каждый вектор одного подпространства ортогонален любому вектору другого подпространства. Два подпространства W и W" пространства W называются ортогональными дополнениями пространства W, если они ортогональны друг другу и их прямая сумма равна векторному пространству W. В качестве примера вновь рассмотрим -мерное векторное пространство W -векторов над полем GF (2). В этом векторном пространстве подпространства ортогональны Друг другу. Нетрудно убедиться, что прямая сумма W и W" равна W. Следовательно, они являются ортогональными дополнениями.