§ 3. Пространственные спектральные разложения для однородных случайных полей

Запишем формальное разложение флуктуационной компоненты одиородкого случайного поля в трехкратный интеграл Фурье:

Здесь — пространственная спектральная амплитуда (или, короче k - амплитуда) поля , которая выражается через при помощи обратного преобразования Фурье:

Иногда вместо используется более краткое обозначение

Спектральное разложение (3.1) мы назвали формальным потому, что для неубывающей на бесконечности функции, какой является однородное случайное поле трансформанты Фурье

не существует. Для того чтобы придать спектральным разложениям таких случайных полей обычный математический смысл, следовало бы предположить, что поле однородно в большой, но конечной области V, вне которой оно достаточно быстро убывает до нуля, и переходить к бесконечным размерам области V лишь на последнем этапе расчетов, уже после статистического усреднения. Мы не будем, однако, пользоваться здесь такого рода приемами (как мы не делали этого в аналогичной ситуации и для спектральных разложений стационарных случайных процессов), а будем считать, что интегралы (3.1) и (3.2) существуют в смысле вероятностной сходимости, а именно — в среднем квадратичном (ч. I, § 40).

Согласно (3.1) функция корреляции однородного случайного поля равна

Спектральные амплитуды оказываются дельта-коррелированными по к. В самом деле, в силу (3.2)

Введем здесь новые переменные интегрирования для которых Учитывая, что

после интегрирования по R получаем

где

Подставляя же (3.4) в (3.3), находим

Функция называется пространственной спектральной плотностью (к-плотностью) или, короче, пространственным 1 спектром случайного однородного поля и аналогична спектральной плотности (-плотности) в теории стационарных случайных процессов. Соотношение (3.5) представляет собой обобщение теоремы Хинчина (ч. I, § 41) на случайные поля. Заметим, что наряду с трехмерными спектральными разложениями

иногда удобно использовать также одномерные и двумерные спектральные разложения (см. задачи 2—4 в конце главы). Нетрудно убедиться, что пространственный спектр является вещественной, и неотрицательной величиной. Вещественность вытекает из (2.19), а неотрицательность — из положительной определенности корреляционной функции.

В отличие от взаимный пространственный спектр

отвечающий взаимной корреляционной функции. двух комплексных полей в общем случае является комплексной величиной.

Для четных корреляционных функций в частности для функции корреляции вещественного или изотропного поля, спектральная плотность тоже четна, . В этом случае связаны косинус-преобразованием Фурье:

В частном случае изотропного однородного случайного поля, для которого пространственная спектральная плотность зависит только от модуля вектора к. Для того чтобы это показать, перейдем в (3.5) к полярным координатам ) с полярной осью, направленной по вектору к. Тогда и мы получаем

Зависимость Ф только от k позволяет записать (3.6) и (3.8) в более простом виде, а именно через однократный интеграл по k. Вводя сферические координаты в пространстве волновых векторов k (с полярной осью по вектору ), после интегрирования по угловым переменным получаем

Приведем в качестве примера значение пространственного спектра однородного и изотропного случайного поля с гауссовой функцией корреляции (2.24):

и с экспоненциальной функцией корреляции (2.25):

Эти выражения можно получить при помощи любой из формул (3.5), (3.9) или, что проще всего, (3.10).

Из этих примеров видно, что «неопределенность» (ширина) спектра обратно пропорциональна радиусу корреляции случайного поля: . Но I характеризует «неопределенность» (ширину) корреляционной функции, которая существенно отличается от нуля лишь при В результате для изотропных случайных полей можно формулировать соотношение неопределенностей (т. е. размытостей)

которое является аналогом соотношения для случайных процессов (ч. I, § 44). Согласно (3.14) коротко коррелированным полям мало) отвечают широкие пространственные спектры велико), тогда как при больших радиусах корреляции ширина спектра мала.

Для анизотропных полей неопределенности (радиусы корреляции) по разным направлениям неодинаковы, и для них вместо одного неравенства (3.14) выполняются сразу три неравенства:

Для иллюстрации этих соотношений можно привести пространственный спектр, отвечающий гауссовой корреляционной функции (2.29):

Ширина этого спектра по осям обратно пропорциональна соответственно величинам а, b и с, которые характеризуют масштаб изменения корреляционной функции (2.29) по осям

Для существования т. е. для существования интеграла в правой части (3.8) и (3.11), необходимо, с одной стороны, чтобы с ростом k спектральная плотность убывала быстрее С другой стороны, при у спектра допустимо наличие степенной особенности вида с

В тесной связи с условиями существования корреляционной функции находится вопрос о требованиях, которым должен подчиняться спектр дифференцируемых случайных полей. Так же, как и в теории случайных процессов (ч. I, § 19), можно убедиться, что необходимое и достаточное условие существования (разумеется, в среднем квадратичном) первых пространственных производных, например сводится к существованию величины

    (3.17)

Если подставить сюда спектральное разложение (3.6) и положить то условие существования запишется в виде

Это условие допускает при степенные особенности вида а более высокого порядка, чем это требуется для существования интеграл (3.18) сходится, если тогда как для сходимости интеграла (3.6) допустимы лишь . В то же время условие (3.18) предъявляет более жесткое требование к скорости убывания при Необходимо, чтобы с ростом k убывало, как с (для существования необходимо лишь Последнему условию не удовлетворяет, например, случайное поле с экспоненциальной функцией корреляции (2.25), поскольку его спектральная плотность (3.13) убывает на бесконечности недостаточно быстро (как ). Следовательно, такое поле недифференцируемо.

Еще более жесткие требования при предъявляет к существование у случайного поля производных порядка. Из условия следует, что должно выполняться неравенство

так что с ростом k спектр должен убывать быстрее, чем Очевидно, для бесконечно дифференцируемого поля должно уменьшаться при быстрее любой отрицательной степени k, например, экспоненциально. Таким является, например, случайное поле с гауссовой корреляционной функцией (2.24).

Примером спектра, спадающего более медленно (чем по экспоненте), но быстрее любого может служить функция

для которой при любом конечном